人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 第一章__章末复习课_课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 第一章__章末复习课_课件(共39张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 15:43:22 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
章 末 复 习
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.
2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.
3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.
4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.
5.会用向量法解决立体几何问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
学习目标
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
问题导学
线线平行 l∥m a∥b a＝kb ，k∈R
线面平行 l∥α ______ _______
面面平行 α∥β μ∥v ____________
线线垂直 l⊥m ______ _______
线面垂直 l⊥α a∥μ a＝kμ，k∈R
面面垂直 α⊥β μ⊥v _______
a⊥μ
a·μ＝0
μ＝kv，k∈R
a⊥b
a·b＝0
μ·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______
线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤ )，sin θ＝______
面面夹角 α，β的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______
知识点二 用坐标法解决立体几何问题的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
题型探究
答案 ③④
向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则运算律及其几何意义.
反思与感悟
由已知ABCD是平行四边形，
类型二 利用空间向量证明空间中的位置关系
例2 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.
证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2).
又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，
又DE 平面CA1D，BC1 平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
(1)证明线与面的平行与垂直：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行.如果直线的方向向量与平面的一个法向量共线，则直线与平面垂直.
(2)证明面与面的平行与垂直：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行，法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直.
反思与感悟
跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
解 交线围成的正方形EHGF如图：
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解 作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
反思与感悟
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；
方法一 证明 如图，取AE的中点H，
连接HG，HD，
又G是BE的中点，
又F是CD的中点，
由四边形ABCD是矩形得，
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
方法二 证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE 平面ADE，GM 平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD 平面ADE，MF 平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
证明 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
1.下列各组向量中不平行的是( )
A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
D
当堂训练
解析 A：b＝－2a a∥b；
B：d＝－3c d∥c；
C：而零向量与任何向量都平行.
1
2
3
4
5
2.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )
1
2
3
4
5
解析 以点A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝AC＝2，
答案 D
4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是( )
A.a B.b
C.c D.以上都不对
1
2
3
4
5
解析 ∵a，b，c不共面，
∴a＋b，a－b，c不共面，
∴p，q，c可构成空间的一个基底.
C
1
2
3
4
5
5.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.
x＋y＋z＝0
规律与方法
(1)理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式，利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证a∥b(b≠0) a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为证x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在求异面直线所成的角或线面角及二面角时，转化为计算向量的夹角，
(2)利用空间向量解决立体几何中的平行问题
①证明两条直线平行，可转化为证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.
②证明线面平行的方法
a.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.
b.证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内.
c.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.
(3)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
(4)空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
章 末 复 习
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.
2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.
3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.
4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.
5.会用向量法解决立体几何问题.
问题导学
题型探究
当堂训练
学习目标
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
问题导学
线线平行 l∥m a∥b a＝kb ，k∈R
线面平行 l∥α ______ _______
面面平行 α∥β μ∥v ____________
线线垂直 l⊥m ______ _______
线面垂直 l⊥α a∥μ a＝kμ，k∈R
面面垂直 α⊥β μ⊥v _______
a⊥μ
a·μ＝0
μ＝kv，k∈R
a⊥b
a·b＝0
μ·v＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______
线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤ )，sin θ＝______
面面夹角 α，β的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______
知识点二 用坐标法解决立体几何问题的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
题型探究
答案 ③④
向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则运算律及其几何意义.
反思与感悟
由已知ABCD是平行四边形，
类型二 利用空间向量证明空间中的位置关系
例2 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.
证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2).
又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，
又DE 平面CA1D，BC1 平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
(1)证明线与面的平行与垂直：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行.如果直线的方向向量与平面的一个法向量共线，则直线与平面垂直.
(2)证明面与面的平行与垂直：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行，法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直.
反思与感悟
跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
解 交线围成的正方形EHGF如图：
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解 作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
反思与感悟
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；
方法一 证明 如图，取AE的中点H，
连接HG，HD，
又G是BE的中点，
又F是CD的中点，
由四边形ABCD是矩形得，
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
方法二 证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE 平面ADE，GM 平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD 平面ADE，MF 平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
证明 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
1.下列各组向量中不平行的是( )
A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
D
当堂训练
解析 A：b＝－2a a∥b；
B：d＝－3c d∥c；
C：而零向量与任何向量都平行.
1
2
3
4
5
2.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
1
2
3
4
5
A
1
2
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4
5
3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )
1
2
3
4
5
解析 以点A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝AC＝2，
答案 D
4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是( )
A.a B.b
C.c D.以上都不对
1
2
3
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5
解析 ∵a，b，c不共面，
∴a＋b，a－b，c不共面，
∴p，q，c可构成空间的一个基底.
C
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4
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5.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.
x＋y＋z＝0
规律与方法
(1)理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式，利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证a∥b(b≠0) a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为证x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在求异面直线所成的角或线面角及二面角时，转化为计算向量的夹角，
(2)利用空间向量解决立体几何中的平行问题
①证明两条直线平行，可转化为证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.
②证明线面平行的方法
a.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.
b.证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内.
c.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.
(3)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
(4)空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.