人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课时作业：《空间向量与立体几何》章末综合提升（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课时作业：《空间向量与立体几何》章末综合提升（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 608.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 15:50:45 | ||
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文档简介
章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D．
2．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断是否共面
4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
5.长方体ABCD A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
7.如图是一平行六面体ABCD A1B1C1D1，E为BC延长线一点，＝2，则＝( )
A．＋＋
B．＋－
C．＋－
D．＋－
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
10．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则( )
A．DF⊥面AED1
B．d＝
C．sin θ＝
D．cos α＝
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.
14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．
15．已知正四棱台ABCD A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．
16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.
(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
(2)已知O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，求CO的长．
19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
答案
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D．
D [由条件知＝(5，－5,6)，∴||＝＝.故选D.]
2．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
B [取AC中点M，连接ME，MF(图略)，
则＝＝，＝＝，
所以＝－＝(－2，－3，－3)，故选B.]
3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断是否共面
B [由于＋＋＝1，∴P、A、B、C四点共面．故选B.]
4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
B [y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.故选B.]
5.长方体ABCD A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.故选B.]
6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
A [∵空间直角坐标系中，
A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，
∴＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)，
∴＝－2，∴直线AB与CD平行．故选A.]
7.如图是一平行六面体ABCD A1B1C1D1，E为BC延长线一点，＝2，则＝( )
A．＋＋
B．＋－
C．＋－
D．＋－
B [取BC的中点F，连接A1F(图略)，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－，故选B.]
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得
可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，
故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为＝.故选B.]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
ACD [∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，
∴AC正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．]
10．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
ABC [A.|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确．]
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
ACD [建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝－－＋0＝－1≠0，
·＝－＋＋0＝0，
·＝－＋0－1＝－≠0.
·＝0＋0－1＝－1≠0.
∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故选ACD.]
12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则( )
A．DF⊥面AED1
B．d＝
C．sin θ＝
D．cos α＝
BCD [以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，＝(2，－1,0)，＝(2，－2,1)．
设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由，得令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．
∵＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λ，
即与m不共线，∴DF与面AED1不垂直
故A不正确；又∵＝(0,0,2)，∴d＝＝＝，故B正确；
又＝(2，－1,0)．
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝.
∴C正确；又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，∴cos α＝＝＝，故D正确，故应选B、C、D.]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.
1 [因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，
则，
解得.]
14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．
[以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1,1，)，F
∴＝，
∴E、F两点间的距离为||＝＝.]
15．已知正四棱台ABCD A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．
[设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，
∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，
∴∠B1BO＝60°，
设棱台高为h，
则tan 60°＝，∴h＝，
∴A(0，－，0)，D1，B1，C(0，，0)，
∴＝，＝，
∴cos〈·〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.]
16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)
5 [2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
又＝＋＝＋t
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
由⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此，此时点E的坐标为E.]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
[解] (1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又b⊥c，
所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
设a＋c与b＋c夹角为θ，
因此cos θ＝＝－.
18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.
(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
(2)已知O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，求CO的长．
[解] (1)由＝a，＝b，＝c，
得＝a＋b＋c，
所以＝－a－b－c.
(2)O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．
由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.
由(1)得＝a＋b＋c，
则||2＝2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.
所以A1C的长为，
所以CO的长为.
19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
[解] (1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、
B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2,0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，
且AC∩AF＝A.
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝.
故点E到平面ACF的距离为.
20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
[解] (1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝.
解得m＝，
所以＝.
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)，
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
[解] (1)证明：以D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
＝(，1，－)，＝(－，2,0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则
即
取y＝1，得n＝(，1，)．
取p＝(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n，p〉＝＝＝.
结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45°.
(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(，1，)与平面PAM垂直，则
d＝＝＝，
即点D到平面AMP的距离为.
22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
[解] (1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz如图．
设底面边长为a，
则高SO＝a.
于是S，D，C
＝，＝，
∵·＝0，
故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，设所求角为θ，则
cos θ＝＝，
∴平面PAC与平面DAC的夹角为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝.
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝
而·＝0 t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，
⊥，
而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC.
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D．
2．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断是否共面
4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
5.长方体ABCD A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
7.如图是一平行六面体ABCD A1B1C1D1，E为BC延长线一点，＝2，则＝( )
A．＋＋
B．＋－
C．＋－
D．＋－
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
10．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则( )
A．DF⊥面AED1
B．d＝
C．sin θ＝
D．cos α＝
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.
14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．
15．已知正四棱台ABCD A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．
16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.
(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
(2)已知O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，求CO的长．
19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
章末综合测评(一) 空间向量与立体几何
答案
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D．
D [由条件知＝(5，－5,6)，∴||＝＝.故选D.]
2．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)
B [取AC中点M，连接ME，MF(图略)，
则＝＝，＝＝，
所以＝－＝(－2，－3，－3)，故选B.]
3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断是否共面
B [由于＋＋＝1，∴P、A、B、C四点共面．故选B.]
4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
B [y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.故选B.]
5.长方体ABCD A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.故选B.]
6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
A [∵空间直角坐标系中，
A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，
∴＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1)，
∴＝－2，∴直线AB与CD平行．故选A.]
7.如图是一平行六面体ABCD A1B1C1D1，E为BC延长线一点，＝2，则＝( )
A．＋＋
B．＋－
C．＋－
D．＋－
B [取BC的中点F，连接A1F(图略)，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－，故选B.]
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得
可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，
故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为＝.故选B.]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有( )
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
ACD [∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，
∴AC正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．]
10．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
ABC [A.|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确．]
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
ACD [建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝－－＋0＝－1≠0，
·＝－＋＋0＝0，
·＝－＋0－1＝－≠0.
·＝0＋0－1＝－1≠0.
∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故选ACD.]
12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则( )
A．DF⊥面AED1
B．d＝
C．sin θ＝
D．cos α＝
BCD [以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，＝(2，－1,0)，＝(2，－2,1)．
设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由，得令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．
∵＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λ，
即与m不共线，∴DF与面AED1不垂直
故A不正确；又∵＝(0,0,2)，∴d＝＝＝，故B正确；
又＝(2，－1,0)．
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝.
∴C正确；又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，∴cos α＝＝＝，故D正确，故应选B、C、D.]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.
1 [因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，
则，
解得.]
14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．
[以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1,1，)，F
∴＝，
∴E、F两点间的距离为||＝＝.]
15．已知正四棱台ABCD A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．
[设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，
∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，
∴∠B1BO＝60°，
设棱台高为h，
则tan 60°＝，∴h＝，
∴A(0，－，0)，D1，B1，C(0，，0)，
∴＝，＝，
∴cos〈·〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.]
16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)
5 [2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
又＝＋＝＋t
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
由⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此，此时点E的坐标为E.]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
[解] (1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又b⊥c，
所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
设a＋c与b＋c夹角为θ，
因此cos θ＝＝－.
18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.
(1)设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示；
(2)已知O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，求CO的长．
[解] (1)由＝a，＝b，＝c，
得＝a＋b＋c，
所以＝－a－b－c.
(2)O为四棱柱ABCD A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．
由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.
由(1)得＝a＋b＋c，
则||2＝2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.
所以A1C的长为，
所以CO的长为.
19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.
(1)求证：BE⊥平面ACF；
(2)求点E到平面ACF的距离．
[解] (1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、
B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．
∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2,0,1)．
∵·＝0，·＝0，
∴BE⊥AC，BE⊥AF，
且AC∩AF＝A.
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，
∴点E到平面ACF的距离d＝＝.
故点E到平面ACF的距离为.
20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
[解] (1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝.
解得m＝，
所以＝.
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)，
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
[解] (1)证明：以D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
＝(，1，－)，＝(－，2,0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则
即
取y＝1，得n＝(，1，)．
取p＝(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n，p〉＝＝＝.
结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45°.
(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(，1，)与平面PAM垂直，则
d＝＝＝，
即点D到平面AMP的距离为.
22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
[解] (1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz如图．
设底面边长为a，
则高SO＝a.
于是S，D，C
＝，＝，
∵·＝0，
故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，设所求角为θ，则
cos θ＝＝，
∴平面PAC与平面DAC的夹角为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝.
设＝t，
则＝＋＝＋t
＝
而·＝0 t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时，
⊥，
而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC.
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