人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 空间向量与立体几何（单元测试卷）_练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 空间向量与立体几何（单元测试卷）_练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 16:13:40 | ||
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文档简介
《空间向量与立体几何》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·江苏省高二期中）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（ ）
A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z
5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知，若点D是AC中点，则( )
A．2 B． C．-3 D．6
7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
12．（2020·福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A．= B．
C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为
三、填空题
14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量2，，x，，且，则x的值为______．
15．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.
16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．
四、解答题
18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面OBC的所成角.
19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体中，分别是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论。
22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，平面，，交于点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
《空间向量与立体几何》单元测试卷答案
一、单选题
1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，∴直线AB与CD平行．故选：A．
2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，，
.故选：A
3．（2019·江苏省高二期中）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】
由已知，，因为与共线，所以存在实数，使得，故
，即，解得.故选：A.
4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（ ）
A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z
【答案】A
【解析】
. 故选：A
5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标，
故正方体外接球半径为，故.故选：A.
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知，若点D是AC中点，则( )
A．2 B． C．-3 D．6
【答案】D
【解析】
,,,.故选:D.
7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设棱长为1，，，，由题意得：，，.
，，
又，
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，.故与平面所成角的大小为，故选A．
10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
如图为折叠后的图形，其中作
则，
沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．
可得：,故由,得
.故选：D.
二、多选题
11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
【答案】ABC
【解析】
因为，，所以A，B正确，因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，,不满足，则D不正确.故选：ABC.
12．（2020·福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
【答案】AC
【解析】
对A,因为,分别是和的中点故,故平面成立.对B,建立如图空间直角坐标系,
设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.对C,同B空间直角坐标系有,.故成立.对D, 点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上,故点不在平面上.故D不成立. 故选：AC
13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A．= B．
C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为
【答案】AC
【解析】
由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故选项A正确；在中，，，，，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，，点到平面的距离即△中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，，所以，故选项D错误.故选：AC
三、填空题
14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量2，，x，，且，则x的值为______．
【答案】8
【解析】，解得．
15．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.
【答案】且
【解析】由与的夹角为钝角可得且与不共线，则即且. 故答案为：且.
16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则，可得，则，即异面直线与AM所成角的余弦值为. 故答案为：
17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．
【答案】，
【解析】
由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．
四、解答题
18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面OBC的所成角.
【答案】（1）；（2）
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
（1），，故，所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）平面的法向量为，，故，因，故，故与平面所成的角为.
19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),,,
,,
与BE是平面BDE内两条相交直线，平面BDE
（2）由（1）进一步可得F(0，)，，设平面BDE的法向量为，可取，
设平面FBE的法向量为，，由,可得，取x=1，可得(1,-2,)
. 由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为
20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】 (1)建系以为原点，如图，，
所以，
(2），，设是平面的法向量，
则，即，取，，所以与平面所成的角的正弦值.
21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体中，分别是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论。
【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【解析】
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
设正方体棱长为，则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为，，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面，则，，.设平面的法向量，
，令，则， .
，解得： .棱上存在点，满足，使得平面.
22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，平面，，交于点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明1：在中,.
因为交于点,所以.
因为平面,
所以,所以.
又因为平面,所以平面
所以平面,所以.
证明2：如图,以为原点,分别以为轴,建立空间直角坐标系.
在中,.因为交于点,所以,所以,
，所以,所以
（2）解：由（1）可知,,.
设平面的法向量为,所以即令,则,所以.设直线与平面所成角为,则.
23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】(1) (2)
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．
（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，
即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2） 因为，设，
又，则，
又，从而，
设，则，
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
一、单选题
1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·江苏省高二期中）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（ ）
A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z
5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知，若点D是AC中点，则( )
A．2 B． C．-3 D．6
7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
12．（2020·福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A．= B．
C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为
三、填空题
14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量2，，x，，且，则x的值为______．
15．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.
16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．
四、解答题
18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面OBC的所成角.
19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体中，分别是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论。
22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，平面，，交于点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
《空间向量与立体几何》单元测试卷答案
一、单选题
1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，∴直线AB与CD平行．故选：A．
2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，，
.故选：A
3．（2019·江苏省高二期中）已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】
由已知，，因为与共线，所以存在实数，使得，故
，即，解得.故选：A.
4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（ ）
A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x，y＝1，z＝1
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x，y＝1，z
【答案】A
【解析】
. 故选：A
5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标，
故正方体外接球半径为，故.故选：A.
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知，若点D是AC中点，则( )
A．2 B． C．-3 D．6
【答案】D
【解析】
,,,.故选:D.
7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,.故选:C.
8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设棱长为1，，，，由题意得：，，.
，，
又，
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，.故与平面所成角的大小为，故选A．
10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
如图为折叠后的图形，其中作
则，
沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．
可得：,故由,得
.故选：D.
二、多选题
11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
【答案】ABC
【解析】
因为，，所以A，B正确，因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，,不满足，则D不正确.故选：ABC.
12．（2020·福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
【答案】AC
【解析】
对A,因为,分别是和的中点故,故平面成立.对B,建立如图空间直角坐标系,
设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.对C,同B空间直角坐标系有,.故成立.对D, 点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上,故点不在平面上.故D不成立. 故选：AC
13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A．= B．
C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为
【答案】AC
【解析】
由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故选项A正确；在中，，，，，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，，点到平面的距离即△中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，，所以，故选项D错误.故选：AC
三、填空题
14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量2，，x，，且，则x的值为______．
【答案】8
【解析】，解得．
15．（2020·河南省高二期末）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.
【答案】且
【解析】由与的夹角为钝角可得且与不共线，则即且. 故答案为：且.
16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则，可得，则，即异面直线与AM所成角的余弦值为. 故答案为：
17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．
【答案】，
【解析】
由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．
四、解答题
18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面OBC的所成角.
【答案】（1）；（2）
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
（1），，故，所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）平面的法向量为，，故，因，故，故与平面所成的角为.
19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),,,
,,
与BE是平面BDE内两条相交直线，平面BDE
（2）由（1）进一步可得F(0，)，，设平面BDE的法向量为，可取，
设平面FBE的法向量为，，由,可得，取x=1，可得(1,-2,)
. 由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为
20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】 (1)建系以为原点，如图，，
所以，
(2），，设是平面的法向量，
则，即，取，，所以与平面所成的角的正弦值.
21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体中，分别是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论。
【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【解析】
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
设正方体棱长为，则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为，，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面，则，，.设平面的法向量，
，令，则， .
，解得： .棱上存在点，满足，使得平面.
22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，平面，，交于点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明1：在中,.
因为交于点,所以.
因为平面,
所以,所以.
又因为平面,所以平面
所以平面,所以.
证明2：如图,以为原点,分别以为轴,建立空间直角坐标系.
在中,.因为交于点,所以,所以,
，所以,所以
（2）解：由（1）可知,,.
设平面的法向量为,所以即令,则,所以.设直线与平面所成角为,则.
23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】(1) (2)
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．
（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，
即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（2） 因为，设，
又，则，
又，从而，
设，则，
当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．