人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《空间向量与立体几何》单元测试（二）（含答案）

《空间向量与立体几何》单元测试（二）
一、单项选择题
1.已知空间向量,若,则实数( )
A.
B.
C.1
D.2
2.若平面的法向量分别为,则( )
A.
B.与相交但不垂直
C.
D.或与重合
3.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面的位置关系是( )
A.
B.
C.
D.与斜交
4.如图,在正方体中,以顶点为向量端点的所有向量中,直线的方向向量有( )
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
5.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在底面上移动,且满足,则线段的长度的最大值为( )
A.
B.2
C.
D.3
6.如图,空间四边形中,,且,则( )
A.
B.
C.
D.
7.是二面角棱上的一点,分别在平面上引射线,如果,那么二面角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知球的半径为是球面上的两点,且,若点是球面上任意一点,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9.如图所示,棱长为1的正方体中,为线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.不是定值
C.三棱锥的体积为定值
D.
10.在四面体中,以下说法正确的有( )
A.若,则可知
B.若为的重心,则
C.若,则
D.若四面体各棱长都为分别为,的中点,则
11.已知点是所在的平面外一点,若,,则( )
A.
B.
C.
D.
12.如图四棱锥,平面平面,侧面是边长为的正三角形,底面为矩形,,点是的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.三棱锥的体积为
D.四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
三、填空题
13.设空间任意一点和不共线三点,且点满足向量关系,若四点共面,则_______.
14.在四棱锥中,底面是正方形,为中点,若,则___________.
15.已知,且与的夹角为钝角,则的取值范围是_______.
16.已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,的最小值为__________,且此时_____________.
四、解答题
17.已知三点不共线,对平面外的任一点,若点满足.
(1)判断三个向量是否共面;
(2)判断点是否在平面内.
18.已知向量,.
(1)求;
(2)若,求;
(3)求.
19.如图,在直三棱柱中,.
(1)点在棱上,且,求的长;
(2)求二面角的大小.
20.如图,,原点是的中点,点的坐标为,点在平面上,且,.
(1)求向量的坐标.
(2)求与的夹角的余弦值.
21.如图,在直三棱柱中,分别为棱、的中点,是棱上的点,满足.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,垂足为在上,且是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若点是棱上一点,且,求的值.
答案解析
1.答案:C
解析:向量,若,则,解得.
2.答案:A
解析:因为平面的法向量分别为,,即,所以,所以.
3.答案:B
解析:由题得,,则,又是平面的法向量,是直线的方向向量,可得.
4.答案:A
解析:寻找直线的方向向量,先找出与直线平行或重合的直线,则以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求.直线的方向向量,由图可知直线的方向向量有,,共8个.
5.答案:D
解析:如图所示,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则点,设点.
得,
由得得,
,
当时,取得最大值3.
6.答案:C
解析:因为,
又因为),所以.
7.答案:D
解析:如图,设,作,垂足为,垂足为.
由,得.
于是.
因为分别是内的两条与棱垂直的直线,所以与之间的夹角等于所求二面角的大小,所以二面角的大小为.
8.答案:B
解析:由球的半径为是球面上的两点,且,可得
9.答案:ACD
解析:A.因为是正方体,所以平面平面,所以平面平面,所以正确;B.,故,故B不正确;C.的面积是定值,平面,点在线段上,所以点到平面的距离是定值,所以是定值,故正确;D.,所以平面平面,所以,故正确.
10.答案:ABC
解析:对于A,
即故A正确;
对于B,若为△ABC的重心,则,
即,故B正确;
对于C,若则
故C正确;
对于D,
∴
∵
,
∴故D错误.
11.答案:AC
解析:因为,故正确;,
,故B不正确;,,故C正确;,各个对应分量的比例不同,故D不正确.
12.答案:BD
解析:取的中点的中点,连接,因为三角形为等边三角形,所以,因为平面平面,所以平面,因为,所以两两垂直,所以,如下图,以为坐标原点,分别以所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,因为点是的中点,所以,平面的一个法向量为,,显然与不共线,所以与平面不垂直,所以不正确;
,
设平面的法向量为,则
令,则,
所以,
设与平面所成角为,
则,
所以,所以正确;
三棱锥的体积为,
所以C不正确;
设四棱锥外接球的球心为,则,
所以,
解得,即为矩形对角线的交点,所以四棱锥外接球的半径为3,设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为,将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体面的对角线,故正方体的棱长为,所以,得24,所以正四面体的表面积为,所以正确.
13.答案:1
解析:因为四点共面,三点不共线,
所以,
,
∴,
因为,
因为是任意一点,故可不共面,
所以,
故.
14.答案:
解析:
.
15.答案:
解析:由题意可知且与不共线,
线,
解得.
若与共线,则,得,∵与不共线,
则,
因此,实数取值范围是.
16.答案:1 3
解析:∵,
∴.
不妨设.
则由题意可知:,
∴得:.
∵,可得.
∵,
∴,
,
∴时,取得最小值为1,即最小值为1.
∴.
17.答案:见解析
解析:(1)由已知,得,
∴.
∴.
∴向量共面.
(2)由(1)知向量共面,三个向量所在的直线又过同一点四点共面,即点在平面内.
18.答案:见解析
解析:(1)∵,
(2)∵,
若,拨,
解之得.
(3)∵,
,
,
.
19.答案:见解析
解析:(1)如图,在中,过作的垂线交于.
在直三棱柱中,平面,所以.
分别以所在直线为轴,轴,轴,
建立空间直角坐标系.
因为,
所以.
因为点在棱上,设,
则.
因为,所以,解得.
所以.
(2)平面的一个法向量为.
又,所以,.
设平面的一个法向量为,
由,得
所以.
取,则,
所以平面的一个法向量为.
,
所以,
又,从而.
根据图形可知,二面角的大小为.
20.答案:见解析
解析:(1)过作于,
则,
,
所以的坐标为,
又因为,所以.
(2)依题设有点坐标为,所以
则与的夹角的余弦值为
21.答案:见解析
解析:(1)三棱柱是直三棱柱,所以平面,又平面,所以,又,
分别为棱的中点,
所以,所以,
又平面平面,所以平面;
(2)以点为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示,由(1)得,又,所以,所以,,
所以,
设面的法向量为,则所以令,得,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22.答案:见解析
解析:(1)以点为原点,分别为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系,则,,故,,
∵,
∴与所成角的余弦值为.
(2)设,
则,
∵,
即,
又,即,
∴,故,
.
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