人教B版（2019）数学必修第二册5_1_2数据的数字特征(极差、方差、标准差)课时巩固练（含解析）

5.1.2数据的数字特征(极差、方差、标准差)
一、常考题型
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
2．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．92，2.8 B．92，2
C．93，2 D．93，2.8
3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　　)
A. B. C. D．2
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
5．北京市2017年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是(　　)
A．第一季度 B．第二季度
C．第三季度 D．第四季度
6．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
7．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
8．从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
二、易错专项
9．若一个样本量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本量为9，平均数为，方差为s2，则(　　)
A. ＝5，s2＜2 B．＝5，s2＞2
C. ＞5，s2＜2 D. ＞5，s2＞2
10．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________，________.
三、难题突破
11. 某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人 编号 年龄 工人 编号 年龄 工人 编号 年龄 工人 编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
(1)用随机数法抽取一个容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)
参考答案
1．B
解析：标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
2．A
解析：该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为
＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.
故选A.
3．D
解析：由题可知样本的平均数为1，
所以＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为
s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
故选D.
4．D
解析：根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，
选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；
同理，在选项C中也有可能；
选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；
选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.
故选D.
5．B
解析：由图可知，第二季度的数据波动性最小，
所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．
故选B.
6．答案：4
解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
7．答案：100
解析：由题意得a＋b＝10×2＝20，
要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
故a＝b＝10，ab＝100.
8．解：(1) 甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
所以甲<乙．
即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1288＝128.8(cm2)．
所以s9．A
解析：∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，
∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，
∴＝5.
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2＜2.
故选A.
10．答案：70　50
解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，
设更正后的方差为s2，
则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，
而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，
化简整理得s2＝50.
11. 解：(1)用随机数法抽取容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，抽取的样本如下：44，40，36，43，36，37，44，43，37.
(2)由均值公式知：＝＝40，
由方差公式知：
s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
(3)因为s2＝，s＝，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于年龄在区间[37，43]上的人数，即40，40，41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.89%.