人教B版（2019）数学必修第二册5_3_3古典概型课时巩固练（含解析）

5.3.3　古典概型
一、常考题型
1．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
8．抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
二、易错专项
9．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
10．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
三、难题突破
11. 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
参考答案
1．C
解析： A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，
所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
故选C.
2．B
解析： 两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，
该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．
其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，
∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.
故选B.
3．D
解析：由题意(m，n)的取值情况有
(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，
共36种，
而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，
共3种．
故所求概率为＝.
故选D.
4．B
解析：所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．
其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，
∴P＝＝.
故选B.
5．B
解析：试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，
满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，
当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，
∴根据古典概型的概率公式得到概率是.
故选B.
6．答案：
解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，
试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，
2瓶都过保质期的样本点只有1个，
∴P＝.
7．答案：
解析：此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，
设事件A＝“可构成三角形”，
则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，
故P(A)＝＝.
8．解：在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，
共36个样本点．
(1)设事件A＝“点数之和为5”，
从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，
所以P(A)＝＝.
(2)设事件B＝“点数之和为7”，
从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，
所以P(B)＝＝.
(3)设事件C＝“出现两个4点”，
则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，
所以P(C)＝.
9．D
解析：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，
则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.
故选D.
10．答案：
解析：由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，
b a　　 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.
记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．
由题意，事件为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．
显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>.
故b＝1时，a>，故a＝1,2,3,4,5,6；
b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；
b＝3时，a>，故a＝3,4,5,6；
b＝4时，a>4，故a＝5,6；
b＝5时，a>，故a无解；
b＝6时，a>9，故a无解．
所以事件包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．
故事件的概率为P()＝.
故P(A)＝1－P()＝1－＝.
11. 解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1(件)，150×＝3(件)，100×＝2(件)，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，
则此试验的样本空间
Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．
设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，
从而P(D)＝＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.