人教B版（2019）数学必修第二册6_1_4数乘向量课时精练（含解析）

6.1.4 数乘向量
一、常考题型
1.等于(　　)
A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③ C．② D．③④
6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.
7．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
8．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
二、易错专项
9．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
10．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
三、难题突破
11. 如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
参考答案
1. B
解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)
＝(－3a＋6b)
＝－a＋2b＝2b－a.
2．B
解析：①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.
3．C
解析：由条件可知＝－，∴AB∥CD，
又因为||＝||，所以四边形为等腰梯形．
4．A
解析：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
5．A
解析：对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．
6．2
解析：∵－3＋2＝0，
∴－＝2(－)，∴＝2，
∴＝2.
7．3
解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－，
又由＋＝m得(M＋)－2＝m，
即－3＝m＝－m，所以m＝3.
8．解：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
9．C
解析：，分别表示a，b的单位向量．
对于A，当a＝－b时，≠；
对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；
对于C，当a＝2b时，＝＝；
对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.
综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，选C.
10．3
解析：，共线，则＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，
又＝λ＋μ，∴∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.
11. 解：∵AC＝BA，∴A是BC的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－＝2a－b.
∴＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.