人教B版（2019）数学必修第二册6_3_1向量在平面几何中的应用 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修第二册6_3_1向量在平面几何中的应用 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 80.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 13:16:40 | ||
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文档简介
6.3.1向量在平面几何中的应用
一、常考题型
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2 C．5 D．10
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1 C． D．4
4．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．|a|＝1
C．a∥b D．(4a＋b)⊥
5．设O为△ABC的外心，平面上一点P使＝＋＋，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若－＝λ，λ∈[0，＋∞)，则直线AP一定过△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是 .
8．如图，在△OAB中，已知点P为线段AB上的一点，且||＝2||.
(1)试用、表示；
(2)若||＝3，||＝2，且∠AOB＝，求·的值．
二、易错专项
9．向量a≠e，|e|＝1，若对任意t∈R，|a－te|≥|a＋e|，则( C )
A．a⊥e B．a⊥(a＋e)
C．e⊥(a＋e) D．(a＋e)⊥(a－e)
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝ .
三、难题突破
11．如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
参考答案
1．答案：C
解析：由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．
2．答案：C
解析：因为·＝(1,2)×(－4,2)＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，且||＝＝，||＝＝2，所以S四边形ABCD＝||||＝××2＝5.故选C．
3．答案：B
解析：设BC边的中点为M，则(＋)＝，
∴＝＋＝，∴P与M重合，
∴||＝||＝1.
4．答案：BD
解析：如图，由题意，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，A错误；
|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，B正确；
因为＝2a，＝b，故a，b不平行，C错误；
设BC的中点为D，则＋＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，D正确．
5．答案：C
解析：由＝＋＋，得＝＋，以OB，OC为邻边作 OBDC，如图．
∵O为△ABC的外心，∴OB＝OC．
∴四边形OBDC为菱形．
∴OD⊥BC．
又＝＋＝，∴AP⊥BC．
同理，BP⊥AC．故P为垂心．
6．答案：A
解析：如图，取BC的中点D，
则＋＝＋＝.
又∵－＝λ，
∴＝λ，
∴A，P，D三点共线，
∴直线AP一定过△ABC的重心
7．答案：30.
解析：＝－＝(3,6)＝，
因为·＝(4，－2)×(3,6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
因为||＝＝2，
||＝＝3，
所以S四边形ABCD＝||||＝2×3＝30.
8．解：(1)因为点P在AB上，且||＝2||，所以＝2，
即－＝2(－)，所以＝＋.
(2)·＝(＋)·(－)
＝－2＋2－·
＝－||2＋||2－||·||cos∠AOB
＝－×9＋×4－×3×2cos＝－.
9．答案：C
解析：由|a－te|≥|a＋e|得(a－te)2≥(a＋e)2，
故t2－2a·et－(2a·e＋1)≥0.
∵对任意t∈R，上式恒成立，
∴Δ＝4(a·e)2＋4(2a·e＋1)≤0.∴(a·e＋1)2≤0.
∴a·e＝－1，∴e·(a＋e)＝a·e＋1＝0，∴e⊥(a＋e)．
10．答案：.
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，
D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E(，)．
故＝(，－)，||＝，即ED＝.
11．解： 以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ，
故当cosθ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
一、常考题型
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2 C．5 D．10
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1 C． D．4
4．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．|a|＝1
C．a∥b D．(4a＋b)⊥
5．设O为△ABC的外心，平面上一点P使＝＋＋，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若－＝λ，λ∈[0，＋∞)，则直线AP一定过△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是 .
8．如图，在△OAB中，已知点P为线段AB上的一点，且||＝2||.
(1)试用、表示；
(2)若||＝3，||＝2，且∠AOB＝，求·的值．
二、易错专项
9．向量a≠e，|e|＝1，若对任意t∈R，|a－te|≥|a＋e|，则( C )
A．a⊥e B．a⊥(a＋e)
C．e⊥(a＋e) D．(a＋e)⊥(a－e)
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝ .
三、难题突破
11．如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
参考答案
1．答案：C
解析：由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．
2．答案：C
解析：因为·＝(1,2)×(－4,2)＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，且||＝＝，||＝＝2，所以S四边形ABCD＝||||＝××2＝5.故选C．
3．答案：B
解析：设BC边的中点为M，则(＋)＝，
∴＝＋＝，∴P与M重合，
∴||＝||＝1.
4．答案：BD
解析：如图，由题意，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，A错误；
|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，B正确；
因为＝2a，＝b，故a，b不平行，C错误；
设BC的中点为D，则＋＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，D正确．
5．答案：C
解析：由＝＋＋，得＝＋，以OB，OC为邻边作 OBDC，如图．
∵O为△ABC的外心，∴OB＝OC．
∴四边形OBDC为菱形．
∴OD⊥BC．
又＝＋＝，∴AP⊥BC．
同理，BP⊥AC．故P为垂心．
6．答案：A
解析：如图，取BC的中点D，
则＋＝＋＝.
又∵－＝λ，
∴＝λ，
∴A，P，D三点共线，
∴直线AP一定过△ABC的重心
7．答案：30.
解析：＝－＝(3,6)＝，
因为·＝(4，－2)×(3,6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
因为||＝＝2，
||＝＝3，
所以S四边形ABCD＝||||＝2×3＝30.
8．解：(1)因为点P在AB上，且||＝2||，所以＝2，
即－＝2(－)，所以＝＋.
(2)·＝(＋)·(－)
＝－2＋2－·
＝－||2＋||2－||·||cos∠AOB
＝－×9＋×4－×3×2cos＝－.
9．答案：C
解析：由|a－te|≥|a＋e|得(a－te)2≥(a＋e)2，
故t2－2a·et－(2a·e＋1)≥0.
∵对任意t∈R，上式恒成立，
∴Δ＝4(a·e)2＋4(2a·e＋1)≤0.∴(a·e＋1)2≤0.
∴a·e＝－1，∴e·(a＋e)＝a·e＋1＝0，∴e⊥(a＋e)．
10．答案：.
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，
D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E(，)．
故＝(，－)，||＝，即ED＝.
11．解： 以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ，
故当cosθ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.