概率与排列组合5分小题问题的类型与解法

概率与排列组合5分小题问题的类型与解法
概率与排列组合问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到概念与组合的问题。从题型上看可能是选择题（或判断题），但也可能参透到统计与概率的大题之中，这里主要探导概念与排列组合5分小题的问题；难度系数一般为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，概率与组合5分小题问题主要包括：①排列与组合问题；②事件与事件的关系问题；③随机事件的概率；④古典概率；⑤几何概率；⑥二项式定理及运用；⑦概率综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答概率与排列组合5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
2、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷理）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
3、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
4、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（4）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理问题基本方法是组合后排列。
【典例2】解答下列问题：
1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
2、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
『思考问题2』
（1）【典例2】是事件与事件之间的关系问题，解答这类问题需要理解事件，互斥事件和对立事件的定义，了解事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
【典例3】解答下列问题：
1、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
3、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
『思考问题3』
（1）【典例3】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
2、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022
全国高考乙卷）
3、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
4、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
『思考问题4』
（1）【典例4】是古典概率的计算问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例5】解答下列问题：
1、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
2、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷文）
A B C D
3、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
4、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
5、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
6、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
7、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
8、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
『思考问题5』
（1）【典例5】是求几何概率的问题，解答这类问题需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率计算的基本方法；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体几何的度量（长度，面积或体积）；②求出某事件包含几何的度量（长度，面积或体积）； ③运用公式：P（A）= 求出该事件的几何概率。
【典例6】解答下列问题：
1、展开式中项的系数为 （用数字作答）（成都市2019级一诊）
2、二项式展开式的各项系数之和为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A -1 B 1 C 32 D 243
3、的展开式中的系数是 （用数字作答）（成都市2021高三一诊理）
4、若的展开式中的系数为，则实数a的值为 （成都市2021高三三诊理）
5、的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I理）
A 5 B 10 C 15 D 20
6、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III理）
『思考问题6』
（1）【问题6】是二项式定理及运用的问题，解答这类问题需要理解二项式定理，掌握二项展开式通项公式；
（2）解答二项式定理及运用问题的基本方法是：①求出问题中二项展开式的通项公式
=；②根据问题条件确定通项公式中r的取值；③将r的值代入二项展开式的通项公式=求出问题的答案。
（3）在解答二项式定理及运用的问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数字。
概率与排列组合5分小题问题的类型与解法
概率与排列组合问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到概念与组合的问题。从题型上看可能是选择题（或判断题），但也可能参透到统计与概率的大题之中，这里主要探导概念与排列组合5分小题的问题；难度系数一般为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，概率与组合5分小题问题主要包括：①排列与组合问题；②事件与事件的关系问题；③随机事件的概率；④古典概率；⑤几何概率；⑥二项式定理及运用；⑦概率综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答概率与排列组合5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
2、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷理）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的分配方案数就可得出选项。
【详细解答】5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，共有不同的分配方案数为.=1024=240（种），C正确，选C。
3、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，共有不同的安排方法数为..=6101
=60，C正确，选C。
4、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，共有不同的安排方法数为=66=36，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（4）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理问题基本方法是组合后排列。
【典例2】解答下列问题：
1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法分别对各选项的两个事件是否是相互独立事件进行判断就可得出选项。
【详细解答】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，第一次取出的球的数字至少是2，也就是说丙事件中第一次取出的球的数字不能是1，甲事件与丙事件两个事件不可能同时发生，且至少有一个发生，即甲与丙相互独立，A正确，选A。
2、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
【解析】
【知识点】①事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质；③判断对立事件的基本方法。
【解题思路】运用对立事件的性质对各问题中涉及的两个事件分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，任取的两个数中恰有一个是偶数，那么另一个就是奇数，同时任取的两个数中恰有一个是奇数，那么另一个就是偶数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对②，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对③，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，但不可能两个都是偶数，两个事件不可能同时发生，且有一个必定发生，是对立事件；对④，任取的两个数中至少有一个奇数，包含恰有一个奇数和一个偶数的事件，任取的两个数中至少有一个偶数，包含恰有一个偶数和一个奇数的事件，不是对立事件，
C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是事件与事件之间的关系问题，解答这类问题需要理解事件，互斥事件和对立事件的定义，了解事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
【典例3】解答下列问题：
1、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②求相互独立事件同时发生概率的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用求相互独立事件同时发生概率的基本方法，结合问题条件分别求出该棋手在第二盘与甲比赛，第二盘与乙比赛，第二盘与丙比赛的概率，就可得出选项。
【详细解答】设该棋手第二盘与甲比赛的事件为A，该棋手第二盘与乙比赛的事件为B，该棋手第二盘与丙比赛的事件为C，各盘比赛结果相互独立，该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，p（A）=+，p（B）=+，p（C）=+， p（C）- p（A）=+--=（-）>0，
p（C）- p（B）=+--=（-）>0，p（B）- p（A）=+
--=(-)>0， p（C）> p（B）> p（A），D正确，选D。
2、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①随机事件概率大于与性质；②求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】根据随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出看见不是红灯的概率。
【详细解答】设到达路口时，看见不是红灯的事件为A，事件发生总数为30+5+40=75（秒），包含事件A的发生数为5+40=45（秒），p（A）==，即到达路口时，看见不是红灯的概率是。
3、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②相互独立事件概率定义与性质；③求相互独立事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据相互独立事件和相互独立事件概率的性质，运用求相互独立事件概率的基本方法求出罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率就可得出选项。（文）根据随机事件和随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法和三角形三边关系定理，求出从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，这三个数能成为一个三角形三边长的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的事件为A，该运动员每次罚球命中的概率为0.4，罚球命中两次时，罚球次数恰为4次，表明该运动员在前3次罚球命中了一次且第四次罚球命中，p（A）==3=，C正确，选C。（文）设从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，这三个数能成为一个三角形三边长的的事件为A，从1，2，3，4，5中随机抽取三个数的基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345共10个，这三个数能成为一个三角形三边长的基本事件有：234，245，345共3个， p（A）=，C正确，选C。
4、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①组合的定义与性质；②求组合数的基本方法；③古典概率的定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据组合的性质和求组合数的基本方法，分别求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球和摸出的两个球颜色相同的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率的基本方法求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球，摸出的两个球颜色相同的概率就可得出选项。
【详细解答】设从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的事件为A，从5个球中不放回地依次随机摸出两个球的摸法有.=54=20，
从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的摸法有
.+.=32+21=6+2=8，p（A）==，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据正方体和古典概率的性质，运用组合数计算公式和求古典概率的基本方法，结合问题条件就可求出从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率。（文）根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的事件为A，从正方体的8个顶点中任选4个的基本事件为==70（个），这四个点在同一平面上的基本事件为12个，P（A）==，即从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率为。（文）设从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的事件为A，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的基本事件有：（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6）共6个，p（A）==，C正确，选C。
2、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据组合的性质和组合数计算公式，结合问题条件分别求出从甲，乙等5名同学中随机选3名和选出的3名同学中包含甲，乙两同学的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。（文）设5名同学分别为，，，，，根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。
【详细解答】（理）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为A， 从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件为=
=10，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件为
=3，p（A）=。（文）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为B，5名同学分别为，，，，，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件有：，，，，
，，，，，共10个，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件有：，，共3个，p（B）=。
3、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
【解析】
【知识点】①两个数互质定义与性质；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用；④古典概率的定义与性质；⑤求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据两个数互质的性质，确定出2，3，4，5，6，7，8中互质的数，运用组合的性质和求组合数的公式分别求出从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数和取出的2个数互质的基本事件个数，利用古典概率的性质和求古典概率的基本方法，求出从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这2个数互质的概率就可得出选项。
【详细解答】设从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这2个数互质的事件为A，
从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数的基本事件为==21，取出的2个数互质的基本事件为+++++=3+4+2+3+1+1=14，p（A）==，D正确，选D。
4、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据排列的性质和排列数计算公式，结合问题条件分别求出4个1和2个0随机排成一行和4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。（文）根据排列的性质和排列的基本方法，结合问题条件排出将3个1和2个0排成一行的所有可能的排列，分别求出排列总数与3个1和2个0排成一行的排列中2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。
【详细解答】设将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将4个1和2个0随机排成一行的排列数为=654321=720，将4个1和2个0随机排成一行，且2个0不相邻的排列数为=43211021=480，p（A）==，C正确，选C。设将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将3个1和2个0随机排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10个，将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6个， p（A）==0.6，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】是古典概率的计算问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
【典例5】解答下列问题：
1、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②数学换元法及运用；③求解一元二次不等式的基本方法；④几何概率定义与性质；④求几何概率的基本方法。
【解题思路】根据指数的性质和数学换元法，得到关于t的一元二次不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求出t的取值范围，从而得到x的取值范围，利用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的事件为A，t=，t（0,+ ）, -5.+4<0, -5t+4<0, 12、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷文）
A B C D
【解析】
【考点】①几何概率定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解答思路】根据几何概率的性质，运用求几何概率的基本方法，结合问题条件求出在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的事件为A，区间（0，）的长度为个单位长度，取到的数小于的长度为个单位长度，p（A）==，B正确，选B。
3、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出黄豆落在阴影部分的概率，从而得出阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】设黄豆落在阴影部分的事件为A，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正确，选A。
4、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出该点恰好在内的概率。
【详细解答】设该点恰好在内的事件为A，作出平面 y
区域为，平面区域为如图所示， = 2 2
=2，= - =2-=，
p（A）===。
5、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出豆子落在正方形内切圆上的概率。
【详细解答】设豆子落正方形内切圆上的事件为A，正方形的边长为1，=11=1，
==，p（A）==。
6、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出父亲在离开家前能得到报纸的概率。
【详细解答】根据题意作出图像如图所示，图中
阴影部分的区域父亲在离开家前能得到报纸，空白 7.30
部分区域父亲在离开家前不能得到报纸，p（A） 7.00
=，即父亲在离开家前能得到报纸的概率是。 7.00 7.30 8.00
7、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率，从而得出选项。
【详细解答】设在正三棱锥内任取一点P，使得＜的事件为A， ＜，p（A）=＜，D正确，选D。
8、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出蜜蜂“安全飞行”的概率从而得出选项。
【详细解答】设蜜蜂“安全飞行”的事件为A， =333=27，=111=1，
p（A）==，C正确，选C。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求几何概率的问题，解答这类问题需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率计算的基本方法；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体几何的度量（长度，面积或体积）；②求出某事件包含几何的度量（长度，面积或体积）； ③运用公式：P（A）= 求出该事件的几何概率。
【典例6】解答下列问题：
1、展开式中项的系数为 （用数字作答）（成都市2019级一诊）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。
【详细解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展开式中项的系数为-.=-516=-80。
2、二项式展开式的各项系数之和为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A -1 B 1 C 32 D 243
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②求二项式展开式各项系数之和的基本方法。
【解题思路】根据二项式定理，运用求二项式展开式个项系数之和的基本方法，结合问题条件求出二项式展开式的各项系数之和就可得出选项。
【详细解答】=1+2x+4+8+16+32，当x=1时，1+10+40
+80+80+32=243，二项式展开式的各项系数之和,243，D正确，选D。
3、的展开式中的系数是 （用数字作答）（成都市2021高三一诊理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，得到的展开式中的项就可求出展开式中的系数。
【详细解答】= （）= ，=-1，r=3， 的展开式中的系数为=-35。
4、若的展开式中的系数为，则实数a的值为 （成都市2021高三三诊理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理和二项展开式的通项公式，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】的通项公式为：==，当9-2r=3，即
r=3时，=84=，==，即a=。
5、的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I理）
A 5 B 10 C 15 D 20
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。
【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法，结合问题条件求出项的系数就可得出选项。
【详细解答】=，的展开式中的项的系数，是
的展开式中，y两项的系数之和，的展开式中的项的系数为+=10+5=15，C正确，选C。
6、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III理）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。
【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，结合问题条件确定常数项的项，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法就可求出、的展开式中常数项。
【详细解答】 = = ，当12-3r=0时，r=4，
的展开式中常数项是=1516=240。
『思考问题6』
（1）【问题6】是二项式定理及运用的问题，解答这类问题需要理解二项式定理，掌握二项展开式通项公式；
（2）解答二项式定理及运用问题的基本方法是：①求出问题中二项展开式的通项公式
=；②根据问题条件确定通项公式中r的取值；③将r的值代入二项展开式的通项公式=求出问题的答案。
（3）在解答二项式定理及运用的问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数字。