人教B版（2019）数学必修第二册第五章概率 复习测试题（含解析）

第五章 概率复习测试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是(　　)
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是(　　)
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
3．下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
4．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节6个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁4位同学接到绘制二十四节气彩绘任务，现4位同学抽签确定每位同学完成一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)
A. B．
C. D.
5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
6．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
7．2021年某省新高考改革方案正式出台，本科高校考试招生主要安排在夏季进行，考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为(　　)
A. B．
C. D.
8．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB∪B∪A)＝0.44，则P(B)＝(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列各选项表述正确的是(　　)
A．若事件A与事件B为同一样本空间的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)>1
C．若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)
D．A∪B表示A，B两事件恰有一个发生
10．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品为20件，二等品为70件，其余为次品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A＝“是一等品”，B＝“是二等品”，C＝“是次品”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(B)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
11．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为(　　)
A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点}
B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}
C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点}
D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}
12．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
15．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)
16．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
18．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
19．(本小题满分12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
20．(本小题满分12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
21．(本小题满分12分)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
22．(本小题满分12分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
A班 6　6.5　7　7.5　8
B班 6　7　8　9　10　11　12
C班 3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
参考答案
1．C
解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．故选C.
2．D
解析：从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，
∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”．
故选D.
3．B
解析： 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，
则A1∩A2为平均分等于90分，
A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
故选B.
4．B
解析：由题意可知，每个人抽到的可能性都是相同的，
因此甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是.
故选B.
5．A
解析：甲、乙等五位候选参赛者分别记为甲，乙，c，d，e.
则从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，
该试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)，(乙，c)，(乙，d)，(乙，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共有10个样本点．事件A＝{(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)}，
所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝0.3.
故选A.
6．D
解析：P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝.
故选D.
7．C
解析：“3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12种情况，
其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种情况，
∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是＝.
故选C.
8．A
解析：因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立．
因为P(A)＝0.2，P(AB∪B∪A)＝0.44，
所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，
所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.
故选A.
9．CD
解析：对于A，同一样本空间内的两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立，A错；
对于B，A与B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，B错；
对于C，由相互独立事件的定义可知，C正确；
对于D，A表示A发生且B不发生，B表示A不发生且B发生，事件A∪B表示A，B两事件恰有一个发生，D正确．
故选C、D.
10．ABC
解析：根据事件的关系及运算求解，A，B为互斥事件，故C项正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，则A、B两项正确，D项错误．故选A、B、C.
11．ABD
解析：对于A，∵P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于B，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于C，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N独立；
对于D，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N不独立．
故选A、B、D.
12．BCD
解析：根据折线图可知，2017年8月到9月、2017年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．故选B、C、D.
13．答案：12000
解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，
所以＝，解得x＝12 000.
14．答案：
解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事件A，则A＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n(A)＝4，
从而甲，乙两人相邻而站的概率为P(A)＝＝.
15．答案：
解析：事件A包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；
表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”．
显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
16．答案：
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．
因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．
所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(AB∪)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()·P()＝×＋×＝.
17．解：四人中选两名代表，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}．
(1)记“甲被选中”为事件A，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)}，所以n(A)＝3，从而P(A)＝＝＝.
(2)记“丁没被选中”为事件B，则B＝{(甲，乙)，(甲，丙), (乙，丙)}，所以n(B)＝3，从而P(B)＝＝＝.
18．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有可能结果为：
由以上树状图知共有18个样本点，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4个样本点，故所求概率P＝＝.
19．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)易知事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
20．解：
(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
21．解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，
故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1＝20(人)．
(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，
所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，2人．
记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，
则从5名市民中选取2名做重点发言，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，其中共有10个样本点．
设事件A＝“第4组的2名B1，B2至少有一名被选中”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共有7个样本点，所以n(A)＝7，
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为P(A)＝＝.
22．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40(人)．
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.
由题意可知，P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝，j＝1,2，…，8.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.