人教B版（2019）数学必修第二册期中复习：对数与对数函数达标训练（含答案）

对数与对数函数
一、单项选择题
1．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　)
A．3 B．
C．9 D．
2．(2020·张家界模拟)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
3．(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为N，则lg N的整数部分为(　　)
A．2 566 B．2 567
C．2 568 D．2 569
4．(2020·运城模拟)若log2x＝log3y＝log5z＜－2，则(　　)
A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x
C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y
5．已知函数f(x)＝loga(6－ax)在区间[2,3]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1,3) D．(1,3]
6．已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则下列说法正确的是(　　)
①f(x)在(2,6)上单调递增；
②f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2；
③f(x)在(2,6)上单调递减；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
7．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
8．形如y＝的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f(x)＝loga(x2＋x＋1)(a>0，a≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象的交点个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
二、多项选择题
9．已知ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有(　　)
A．lg(ab)＝lg a＋lg b B．lg＝lg a－lg b
C．lg2＝lg D．lg(ab)＝
10．（2020·山东夏津一中月考)已知函数f(x)＝－log2x，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上单调递增
D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|
11.在同一平面直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
12．已知函数f(x)＝则(　　)
A．若f(a)＝1，则a＝0
B．f＝2 019
C．若f(f(a))＝2－f(a)，则0≤a≤3
D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1
三、填空题
13．计算：＋log50.25－log32＝________.
14．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.
15．已知a＞0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
16.(2020·九江模拟)如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝logax，y2＝2logax，y3＝logax＋3(a＞1)的图象上，则a＝________.
四、解答题
17．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
18．设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值；
(2)求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值．
19．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0，且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．
20．已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
21．我们知道，互为反函数的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称；而所有偶函数的图象都关于y轴对称．现在我们定义：如果函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，即已知函数f(x)的定义域为D， x∈D，若y＝f(x)，x＝f(y)也成立，则称函数f(x)为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f(x)＝－x＋b都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．
22．若函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D
解析：因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.
2．A
解析：由a＞0知，函数f(x)＝2－ax为减函数，则排除C.
当0＜a＜1时，函数f(x)的零点x＝＞2，则排除D.
当a＞1时，函数f(x)的零点x＝＜2，且x＝＞0，则排除B.故选A.
3．B
解析：由题可知，lg N＝lg(4.02×102 567)＝2 567＋lg 4.02.
因为1＜4.02＜10，所以0＜lg 4.02＜1，
所以lg N的整数部分为2 567.故选B.
4．B
解析：设k＝log2x＝log3y＝log5z＜－2，
则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∴2x＝2k＋1,3y＝3k＋1,5z＝5k＋1，
由k＜－2知k＋1＜－1，即函数y＝xk＋1在(0，＋∞)上是减函数，
∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1，即5z＜3y＜2x，故选B.
5．A
解析：由a＞0知，函数y＝6－ax为减函数，
要使f(x)＝loga(6－ax)在[2,3]上为减函数，则a＞1，
且6－ax＞0在x∈[2,3]上恒成立，
则有解得1＜a＜2，故选A.
6．D
解析：f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．
令t＝(x－2)(6－x)，则f(x)＝ln t．
因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，
又f(x)的定义域为(2,6)，
所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选D.
7．A
解析：由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.
设f(x)＝2x－x，则f(x)因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，
所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，则由f(x)所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.
8．C
解析：令u＝x2＋x＋1，则函数f(x)＝logau(a>0，a≠1)有最小值．
因为u＝＋≥，所以当函数f(x)是增函数时，f(x)在上有最小值；
当函数f(x)是减函数时，f(x)在上无最小值．
所以a>1，此时“囧函数”y＝与函数y＝loga|x|在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.
9．ABD
解析：当a＜0，b＜0时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lg＝lg(－a)－lg(－b)，故A，B错；
当ab＞0时，＞0，lg2＝lg，故C正确；
当ab＝1时，logab10无意义，故D错误．
10．ABD
解析：对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，
所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确；
对于B，若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，
则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得ab＝1，
故B正确；
对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C错误；
对于D，因为0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a＞0,0＜1－a2＜1，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)＜0，故D正确．故选ABD.
11.ABC
解析：由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；
而g(1)＝0，故C不正确；
而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.
所以D正确．
12．BC
解析：由f(a)＝1，得或解得a＝3或a＝0，
故选项A不正确；
f＝f＝＝2log22 019＝2 019，选项B正确；
f(f(a))＝2－f(a)＝，所以f(a)≤1，得或
解得0≤a≤3，选项C正确；
作出函数f(x)的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f(x)＝k有两个不同的实数根时，k≥，选项D不正确．
13．答案：
解析：＋log50.25－log32＝2log510＋log50.25－3－log32
＝log5100＋log50.25－
＝log525－
＝2－
＝.
14．答案：log2x
解析：由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．
∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
15．答案：
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝.
16.答案：2
解析：设B(x1,2logax1)，C(x1，logax1＋3)，A(x2，logax2)，D(x2,2logax2)，
则logax2＝2logax1，∴x2＝x，又2logax2＝logax1＋3,2logax＝logax1＋3，
即x1＝a，x2＝a2，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|.
可得a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．
17．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
18．解：(1)∵函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9，
故f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.
(2)令t＝log3x，则－2≤t≤2，且f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2，
令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，
故当t＝－时，函数g(t)取得最小值为－，此时求得x＝＝；
当t＝2时，函数g(t)取得最大值为12，此时求得x＝9.
19．解：(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以解得－1＜x＜1.
故所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}．
(2)f(x)为奇函数．
证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}上是增函数，
由f(x)＞0，得＞1，解得0＜x＜1.所以x的取值范围是(0,1)．
20．解：(1)因为函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，求得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．
所以a＝0为所求．
(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数，
所以＋a>0恒成立．即a>－恒成立，
由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
(3)由已知得函数f(x)是减函数．故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.
由题设得log2(1＋a)－log2≥2
故－21．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f(x)＝(k≠0)是“自反函数”．
“自反函数”f(x)＝(k≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；
当k<0时，f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；
f(x)＝(k≠0)是奇函数，但不是周期函数．
22．解：当0＜a＜1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga＞0，
即0＜－a＜1.
又2×－a＞0，
解得＜a＜，且a＜1，
故＜a＜1；
当a＞1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)＞0，
即1－a＞1，且2×－a＞0，
解得a＜0，且a＜1，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.