人教B版（2019）数学必修第二册期中复习：函数与方程达标训练（含答案）

函数与方程
一、单项选择题
1．(2020·开封模拟)已知方程lg x＋＝0的根为x0，则下列说法正确的是(　　)
A．x0∈(0,1) B．x0∈(1,10)
C．x0∈(10,100) D．x0∈(100，＋∞)
2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
3．已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
5．已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．(4，＋∞)
C．(3,4] D．(1,3]∪(4，＋∞)
7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
8．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
二、多项选择题
9．(2021·青岛模拟)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)
A．2.52 B．2.56
C．2.66 D．2.75
10．(2021·济宁模拟)已知函数f(x)＝x－log2x,0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)
A．d＜a B．d＞b
C．d＞c D．d＜c
11．已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1三、填空题
12．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是________．
13．(2020·济南模拟)若函数f(x)＝ln x－＋a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是________，x4(x1＋x2)＋的最大值是________．
四、解答题
16．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值；
(2)求函数的零点．
17．设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
18．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
19．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．
20．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
21．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
解析：设f(x)＝lg x＋，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
易知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又x→0时，f(x)＜0，f(1)＝lg 1＋1＝1＞0，
∴方程lg x＋＝0的根所在区间是(0,1)，
故选A.
2．B
解析：
法一：(直接法)
由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：(图象法)
函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
3．C
解析：函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，且f(x0)＝0，
则f(x1)＞0，f(x2)＜0，
故选C.
4．C
解析：作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.
5．C
解析：由或
解得x＝2或x＝4或x＝e－6.
即函数f(x)在(－6，＋∞)上有3个零点，
故选C.
6．D
解析： f(x)＝恰有2个零点有两种情况：
①二次函数有两个零点，一次函数无零点；
②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．故选D.
7．B
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，
故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故选B.
8．C
解析：因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，
所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0 f(2x2＋1)＝f(x－λ) 2x2＋1＝x－λ，
所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，
所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
故选C项．
9．AB
解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.5625)内，
因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，
故选A、B.
10．ABD
解析：由y＝x在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
可得f(x)＝x－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，
当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，
又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，
所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；
②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.
综合①②可得d＞c不可能成立．
11．BCD
解析：由函数f(x)＝作出其函数图象：
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD.
12．答案：2
解析：令f(x)＝0得2|x|＝3－x2，在同一坐标系中，
分别作出函数y＝2|x|和y＝3－x2的图象，如图所示：
由图象知，函数f(x)有两个零点．
13．答案：
解析：∵函数f(x)在区间(1，e)上为增函数，
∴解得－1＜a＜1.
14．答案：
解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，
若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－＜m≤0，
即实数m的取值范围是.
15．答案：1　4
解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，要使方程f(x)＝a有四个不同的解，则需1≤a＜2，故a的最小值是1.
由二次函数图象的对称性可知，x1＋x2＝－2，
由对数函数的图象及性质可知，|log0.5x3|＝|log0.5x4|，即log0.5x3＝－log0.5x4，
所以x3x4＝1，所以x4(x1＋x2)＋＝－2x4＋.
又函数y＝－2x＋在[2,4)上单调递减，
所以x4(x1＋x2)＋的最大值为－2×2＋＝4.
16．解：(1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
所以m＝±2，
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
17．解：(1)如图所示．
(2)因为f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
18．解：因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，
所以函数f(x)的周期为4.
由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，
知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．
在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．
由图可知≤m＜，即－≤m＜－.
19．解：由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，
所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足
解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．
20．解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，
故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，
则满足 解得1所以m的取值范围为.
21．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，
易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，
如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，
即所求a的取值范围是.