人教B版（2019）数学必修第二册章末复习：向量基本定理与向量的坐标达标训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修第二册章末复习：向量基本定理与向量的坐标达标训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 16:46:03 | ||
图片预览
文档简介
向量基本定理与向量的坐标
一、选择题
1．(山东菏泽高三月考)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3，4) B．(3，4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D.(－，)
4．(江西新余四中高三月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．(江西临川二中高三月考)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则＝( )
A．－ B. C．－2 D．2
6．(内蒙古包头一中高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．2 B. C．2 D．4
7．(河南平顶山高三10月阶段性检测)已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
8．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A. B. C．3 D．2
9．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
10．(四川雅安中学高三月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．3 B. C．2 D．1
11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2 C. D．2
二、填空题
12．若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．
13．(湖北孝感一中高三月考)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
14．已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，则的坐标为________．
15．(华南师范大学附属中学高三月考)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
16．(广东广雅中学高三月考)在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是______．
参考答案
1．B
解析：由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.故选B.
2．A
解析：由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．故选A.
3．A
解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.故选A.
4．A
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)．由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．故选A.
5．C
解析：因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则得＝－2.故选C.
6．A
解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，所以λ＋μ＝2.故选A.
7．B
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)．所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.
8．A
解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,2)．因为∠DAB＝60°，所以设点D的坐标为(m，m)(m≠0).＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.故选A.
9．B
解析：如图，设＝λ，＝μ.所以＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，又＝μ＝μ.因此，μ＝－b＋λ.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得
解得λ＝，μ＝.故＝λ＝λ＝a＋b.故选B.
10．B
解析：由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1，0)，E(－1,1)，∴＝(1,0)，＝(－1,1)，∴＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)．又∵P为CD的中点，∴＝，∴∴λ＝，μ＝1，∴λ＋μ＝.故选B.
11．A
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝，∴EC＝＝＝，即圆C的半径为，∴点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.设P(x0，y0)，则(θ为参数)，∴＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.
12．－
解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)．根据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
13．(－4，－2)
解析：∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2，∴4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，解得λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．
14．(－2，－4)
解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，＝－，所以有和
解得和所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，所以＝(－2，－4)．
15．k≠1
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
16.
解析：因为＝，所以＝＋.又＝λ＋μ，点E在线段AD上移动，所以∥，则＝，即λ＝μ.所以t＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝22＋.当λ＝时，t的最小值是.
一、选择题
1．(山东菏泽高三月考)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3，4) B．(3，4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D.(－，)
4．(江西新余四中高三月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．(江西临川二中高三月考)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则＝( )
A．－ B. C．－2 D．2
6．(内蒙古包头一中高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．2 B. C．2 D．4
7．(河南平顶山高三10月阶段性检测)已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
8．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A. B. C．3 D．2
9．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
10．(四川雅安中学高三月考)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．3 B. C．2 D．1
11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2 C. D．2
二、填空题
12．若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．
13．(湖北孝感一中高三月考)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
14．已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，则的坐标为________．
15．(华南师范大学附属中学高三月考)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
16．(广东广雅中学高三月考)在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是______．
参考答案
1．B
解析：由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.故选B.
2．A
解析：由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)．故选A.
3．A
解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.故选A.
4．A
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)．由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．故选A.
5．C
解析：因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则得＝－2.故选C.
6．A
解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，所以λ＋μ＝2.故选A.
7．B
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)．所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.故选B.
8．A
解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,2)．因为∠DAB＝60°，所以设点D的坐标为(m，m)(m≠0).＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.故选A.
9．B
解析：如图，设＝λ，＝μ.所以＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，又＝μ＝μ.因此，μ＝－b＋λ.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得
解得λ＝，μ＝.故＝λ＝λ＝a＋b.故选B.
10．B
解析：由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1，0)，E(－1,1)，∴＝(1,0)，＝(－1,1)，∴＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)．又∵P为CD的中点，∴＝，∴∴λ＝，μ＝1，∴λ＋μ＝.故选B.
11．A
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝，∴EC＝＝＝，即圆C的半径为，∴点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.设P(x0，y0)，则(θ为参数)，∴＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.
12．－
解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)．根据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
13．(－4，－2)
解析：∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2，∴4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，解得λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．
14．(－2，－4)
解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，＝－，所以有和
解得和所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，所以＝(－2，－4)．
15．k≠1
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
16.
解析：因为＝，所以＝＋.又＝λ＋μ，点E在线段AD上移动，所以∥，则＝，即λ＝μ.所以t＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝22＋.当λ＝时，t的最小值是.