人教B版（2019）数学必修第三册 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 导学案（含答案）

7.1.2弧度制及其与角度制的换算
【学习目标】
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)1弧度的角是如何定义的？　
(2)如何求角α的弧度数？　
(3)如何进行弧度与角度的换算？　
(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
二、课前小测
1．下列转化结果错误的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D. rad化成度是15°
2.是(　　)
A．第一象限角　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．(1) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
三、新知探究
1．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
四、题型突破
题型一 角度与弧度的互化与应用
【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
【反思感悟】
角度制与弧度制互化的关键与方法
1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
【跟踪训练】
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－ rad化为度是________．
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
题型二 用弧度数表示角
【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
【反思感悟】
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
【跟踪训练】
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】　(1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨]　(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
【多维探究】
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
【反思感悟】
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
五、达标检测
1．思考辨析(　　)
(1)1弧度的角是周角的.
(2)1弧度的角大于1度的角．
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A. rad　　 B. rad
C. rad D. rad
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
六、本课小结
1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．
2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．
参考答案
课前小测
1．C
解析：对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选C.
2. B
解析：＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．
3．(1)252°　(2)　
解析：(1) rad＝°＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad.]
4．
解析：由已知得S扇＝××22＝.
题型突破
【例1】答案：(1)①rad　②－75°　　
解析：(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝°，
所以－rad＝－°＝－75°.
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝×°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
【跟踪训练】
1．答案：(1)－π rad　(2)－396°
解析：(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.
(2)－ rad＝－×°＝－396°.
2．答案：π，π
解析：因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.
【例2】答案：(1)D
解析：因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.
(2) 解：因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
【跟踪训练】
3．答案：C
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.
4．解：30°＝ rad,150°＝ rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
【例3】
(1)答案： 2－　
解析：设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.
(2)解：设扇形的弧长为l，半径为r，
则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为＝43－3或43＋3.
【多维探究】
1．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad.
2．解：设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2 rad，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√
[提示]　(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确．
2．答案：B
解析：由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.
3．答案：
解析：－570°＝－＝－4π＋.
4．解：因为r＝π，α＝120×＝，
所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.