人教B版（2019）数学必修第三册 7.2.4诱导公式（1）导学案（含答案）

7.2.4　诱导公式（1）
【学习目标】
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2.理解诱导公式的推导过程．
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式的内容是什么？
(3)诱导公式一～四有哪些结构特征？
二、课前小测
1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　)
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　 D．4
2．tan等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.
4．求值：(1)sin＝________.
(2)cos＝________.
三、新知探究
1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，
cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα.
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sinα，
cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα.
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sinα，
cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα.
思考：
(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：
(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
四、题型突破
题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
【反思感悟】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1“负化正”——用公式一或三来转化；
2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
【跟踪训练】
1．计算：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
题型二 给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A.　　　　　 B.
C. D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
【多维探究】
1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
【反思感悟】
解决条件求值问题的两技巧
1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
题型三 利用诱导公式化简问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
【例3】　设k为整数，化简：.
【反思感悟】
三角函数式化简的常用方法
1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
【跟踪训练】
2．化简：(1)；
(2).
五、达标检测
1．思考辨析
(1)公式二～四对任意角α都成立．(　　)
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)
A.　　　B．－　　　C．±　　　D.
3.的值等于________．
4．化简(1)；
(2).
六、本课小结
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，
故①正确，②错误；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，
故③正确，④错误；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．
故选C.
2．答案：C
解析：tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
3．答案：3
解析：tan(π＋α)＝tan α＝3.
4．答案：(1)　(2)－
解析：(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
题型突破
【例1】解：
(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
【跟踪训练】
1．解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
【例2】
(1)答案：A
解析：sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝.
(2) 解：∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.
【多维探究】
1．解：cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝.
2．解：因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由
解得或(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.
【例3】解：法一：(分类讨论)
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)
由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
【跟踪训练】
2．解：
(1)原式＝＝＝－tan α.
(2)原式＝
＝
＝＝－1.
达标检测
1．提示：(1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．答案：B
解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.
3.答案：－2
原式＝
＝
＝＝＝－2.
4．解：(1)＝＝＝－cos2α.
(2)＝＝－cos α.