人教B版（2019）数学必修第三册7_2_2 单位圆与三角函数线探究案（含答案）

7.2.2 单位圆与三角函数线
探究一 作出三角函数线
作三角函数线的题型主要有两种：
(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可；
(2)已知函数值的大小找角，先找出相应y或x的值，再找出相应的角．
【例1】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；　　(2)cos α＝－； (3)tan α＝2．
探究二 利用三角函数线比较大小
利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．
【例2】 若θ∈，则下列各式错误的是________．(填序号)
①sin θ＋cos θ<0； ②sin θ－cos θ>0； ③|sin θ|<|cos θ|； ④sin θ＋cos θ>0．
探究三 利用三角函数线解不等式
用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤
【例3】 求函数f(α)＝的定义域．
【例4】 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．
探究四 三角函数值与角的关系
由三角函数定义知：－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1 rad＝．
【例5】 (1)若角θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．
(2)若tan(cos θ)·cot(sin θ)>0，试指出θ所在象限．
探究五 易错辨析
易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误
【例6】 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1．
参考答案
【例1】 解析：(1)作直线y＝交单位圆于点P，Q，则OP与OQ为角α的终边，如图①．
(2)作直线x＝－交单位圆于点M，N，则OM与ON为角α的终边，如图②．
(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角α的终边，如图③．
【例2】 解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．
由图可观察出，当θ∈时，
sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|．
所以①②③正确，④错误．
答案：④
【例3】 解析：要使函数f(α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥，如图所示，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于．
在[0,2π)内，sin ＝sin ＝．
由于sin α≥，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，
所以函数f(α)的定义域为．
【例4】 解析：由题意，知如图所示，
由三角函数线可得
故<α<或π<α<．
【例5】解析：(1)因为角θ在第四象限，
所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0．
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0．
(2)由题意，知或
所以或
即θ在第一或第三象限．
【例6】错解：证明：如图所示，MP＝|sin α|，OM＝|cos α|．
根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sin α|＋|cos α|≥1．
错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sin α|和OM＝|cos α|．
正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1．当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|＞1．
综上，有|sin α|+|cos α|≥1．