人教B版（2019）数学必修第三册8_2_1两角和与差的余弦课堂探究（含答案）

8.2.1 两角和与差的余弦课堂探究
探究一 直接利用两角和与差的余弦公式
公式Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如，30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．
【例1】 求下列各式的值：
(1)cos 15°－cos 75°；
(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°；
(3)cos 15°－sin 15°．
分析：注意结构形式，将其变形为两角和与差的余弦形式，套用公式．
探究二 给值求值问题
给值求值问题的主要技巧有两个，一个是已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的正负．
二是注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α),4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝(α＋β)＋β等等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．
【例2】 已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值．
分析：由公式Cα＋β可知，欲求cos(α＋β)的值，应先计算cos α和sin β的值．
探究三 给值求角问题
先根据已知条件求出角的余弦值，然后根据已知条件求出角的范围，从而确定角的大小．
【例3】 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β．
分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．
探究四 易错辨析
易错点：角的范围考虑不全致误
【例4】 已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α．
参考答案
【例1】 解析：
(1)cos 15°－cos 75°
＝cos(60°－45°)－cos(45°＋30°)
＝×＋×－×＋×
＝．
(2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°
＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°
＝cos(20°＋25°)＝．
(3) cos 15°－sin 15°
＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15°
＝cos 75°＝cos(45°＋30°)
＝×－×＝．
【例2】 解析：由α∈及sin α＝，得
cos α＝－＝－＝－．
又由β∈及cos β＝－，得
sin β＝－＝－＝－．
由余弦的和角公式，得
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝．
【例3】 解析：因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝＝＝，
sin β＝＝＝．
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝．
由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，
又cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝．
【例4】 错解析：由已知，得
①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1．
故cos(β－α)＝－．由0≤α＜β＜γ＜2π，
知0＜β－α＜2π，所以β－α＝或β－α＝．
错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件β－α＜γ－α．
正解析：由已知，得
①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
故cos(β－α)＝－．
由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，
所以β－α＝π或β－α＝π．
同理，可求出cos(γ－α)＝－，且0＜γ－α＜2π，
所以γ－α＝π或γ－α＝π．
又β－α＜γ－α，
因此β－α取两者中较小的，γ－α取两者中较大的．
所以β－α＝π．