人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：任意角、弧度制及任意角的三角函数学案（含答案）

任意角、弧度制及任意角的三角函数
新课程标准 考向预测
1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化． 2．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 命题角度 1．象限角与终边相同的角 2．扇形弧长及面积公式的应用 3．三角函数的定义及应用
核心素养 直观想象、数学运算
【基础梳理】
基础点一　角的有关概念
1．从旋转方向角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，角可分为象限角和轴线角．
3．若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β＝____________________________}．
4．象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限角 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限角 {α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限角 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}
基础小测
1．下列各角，与－495°角的终边相同的是(　　)
A．135°　 B．45°　
C．225°　 D．－225°
2．与1 680°角终边相同的最大负角是________.
基础点二　弧度制、弧长以及扇形的面积公式
1．弧度制
(1)1弧度的角：长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)角度与弧度之间的换算：360°＝_______rad，180°＝________rad，n°＝__________rad，α rad＝__________°，1 rad≈57°18′＝57.3°.
2．弧长、扇形面积公式
(1)半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角的弧度是__________.
(2)扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α，则这个扇形的弧长l＝________，面积S＝lr＝________，周长＝__________.
知识点睛
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
基础小测
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(2019山东日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．
基础点三　任意角的三角函数
（1）定义：设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________.
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
常用结论
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．象限角的集合表示
4．轴线角的集合表示
基础小测
1．(2020届广西桂林一中高三月考)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．若sin θ·cos θ＜0，＞0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝________.
【考点突破】
考点一　象限角与终边相同的角(高考热度：★)
[例1] 若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
[例2] 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
考点微练
1．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为_____________________．
解题技法
1．象限角的2种判断方法
图象 法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化 法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；
(2)两边同除以n或乘以n；
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
考点二　扇形的弧长及面积公式(高考热度：★ )
[例3] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，则扇形的面积为________．
方法总结
1．应用弧度制解决问题的方法：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
2．求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
变式1
若例题条件不变，则扇形的弧长为________，该弧所在弓形的面积为_______________．
变式2 若例题条件改为：“若扇形的周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
考点三　三角函数的定义及其应用(高考热度：★)
考向1　三角函数的定义
[例4]　(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为 (　　)
A． B．
C． D．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________．
解题技法
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
考向2　三角函数值符号的判定
[例5]　(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是 (　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
方法总结
三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正．
注意：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin＝1>0，cos π＝－1<0．
考点微练
1．(2020届广西南宁一中高三月考)设θ是第三象限角，且|cos|＝－cos，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角　　　　
2．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D．
3．(2020届河南许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　角的有关概念
基础小测
1．解析：－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角终边相同的是225°.故选C.
2．解析：1 680°＝5×360°－120°，所以与1 680°角终边相同的最大负角是－120°.
基础点二　弧度制、弧长以及扇形的面积公式
基础小测
1．解析：－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而④正确．
2．解析：设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，所以α＝.
基础点三　任意角的三角函数
基础小测
1．解析：由题意得m＜0且＝－，解得m＝－.
2．解析：由＞0，得＞0，故cos θ＞0.又sin θ·cos θ＜0，所以sin θ＜0，所以θ为第四象限角．
3．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
【考点突破】
考点一　象限角与终边相同的角(高考热度：★)
[例1] 解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
[例2] 解析：与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有选项C正确．
考点微练
1．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为．
考点二　扇形的弧长及面积公式(高考热度：★ )
[例3] 解析：由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2)．
变式1
解析：l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝××10－×102×
＝(cm2)．
变式2 解析：由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
考点三　三角函数的定义及其应用(高考热度：★)
考向1　三角函数的定义
[例4]　解析：(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝．故选D．
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍)．所以P，r＝，所以 sin α＝－．所以tan α＝＝，则＋＝－＋＝－．
答案：(1)D　(2)－
考向2　三角函数值符号的判定
[例5]　解析：∵－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，∴0考点微练
1．解析：由θ是第三象限角知，得为第二或第四象限角．∵＝－cos ，∴cos ＜0，∴为第二象限角．
2．解析：由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.
3．解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.