人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：平面向量的数量积与平面向量的综合应用学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：平面向量的数量积与平面向量的综合应用学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 139.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-16 21:04:47 | ||
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文档简介
平面向量的数量积与平面向量的综合应用
新课程标准 考向预测
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 命题角度 1.平面向量数量积的运算 2.平面向量数量积的性质 3.平面向量数量积的应用
核心素养 数学运算、直观想象
【基础梳理】
一、平面向量的数量积
1．数量积定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________，其中θ为a与b的夹角．规定：__________与任意向量的数量积为0.
2．向量的投影：_______________叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
3．向量数量积的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__________的乘积．
基础小测
1．(2020届山东青岛第二中学高三月考)已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
二、平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
定义及性质 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝________
夹角 cos θ＝ cos θ＝________________
a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b| 与|a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：a·b＝________；
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
基础小测
1．(2020届安徽皖南八校上学期第一次联考)设a＝(1，2)，b＝(x，1)，且a⊥b，则|a＋2b|＝( )
A． B．4 C．5 D．5
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)， ＝(2，1)，则· 等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
三、平面向量的应用
1．平面向量在三角函数中的应用主要体现在：(1)当向量的坐标中含有三角函数的形式时，通常用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用正弦、余弦函数在定义域内的有界性求值域等．
2．平面向量在几何中的应用主要体现在：(1)以几何为载体，求解几何图形中相关线段对应的向量间的夹角、数量积、模等问题；(2)在几何图形中，部分条件以向量的形式呈现，求解相关的向量问题或几何问题．
基础小测
1．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)，且y＝f(x)的图象经过点，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，||＝6，||＝6，＝，则·＝( )
A．－14 B．－9 C．9 D．14
【考点突破】
考点一 平面向量数量积的基本运算(高考热度：★★★)
[例1] (2019全国卷Ⅱ，3)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
[例2] (2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
解题技法
求非零向量a，b的数量积的3种方法
方法 适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
基底法 直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法 ①已知或可求两个向量的坐标； ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
考点微练
1．(2020届山东济南历城区第二中学高三月考)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12 C．8 D．－4
2．(2020·湖北汉阳模拟)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A．4 B．－4
C．－8 D．8
考点二 平面向量数量积的应用(高考热度：★★★)
考向1 平面向量的模
[例3] 已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝( )
A．6 B．3
C．2 D．3
[例4] 已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B．
C. D.
解题技法
求平面向量模的2种方法
公式法 利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法 利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
考点微练
1．(2020届河北石家庄二中高三月考)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
考向2 平面向量的夹角
[例5] (2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D.
[例6] (2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解题技法
求平面向量夹角的2种方法
定义法 当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得
坐标法 若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]
考点微练
1．(2019北京卷，7)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考向3 平面向量的垂直
[例7] 已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
[例8] 已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解题技法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
考点微练
1．(2020届山东模拟)设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)⊥c，则λ＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
考点三 平面向量的综合应用(高考热度：★★★)
[例9] (2019天津卷，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
[例10] (2019江苏卷，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
方法总结
求解平面向量与平面几何综合问题的主要策略
(1)向量法，即利用向量的几何意义，选好一组基底，结合平行四边形法则与三角形法则，将所涉及向量利用基底表示，利用向量的位置关系构造关于设定的未知量的方程(组)，从而使问题得到解决．
(2)坐标法，即利用平面图形的垂直关系，或可构造出垂直关系，建立平面直角坐标系，表示出相关点或向量的坐标，再利用平面向量的坐标运算求解相关问题．
考点微练
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC上一点，求·(＋)的最小值．
参考答案
【基础梳理】
一、平面向量的数量积
基础小测
1．解析：∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，∴a·b＋b·c＋a·c＝－.
2．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
二、平面向量数量积的运算律与性质
基础小测
1．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1·x＋2·1＝0，解得x＝－2，
∴b＝(－2，1)，∴a＋2b＝(－3，4)，∴|a＋2b|＝5，故选C.
2．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.故选A.
3．解析：由题意得a＋b＝(m－1，3)．因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
三、平面向量的应用
基础小测
1．解析：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos2x
.∵f ＝2，∴m(1＋1)＋0＝2，∴m＝1.
2．解析：以AC，AB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则C(6，0)，B(0，6)，
∴D(3，3)．∵＝，∴E(1，)，∴＝(1，)，＝(－1，5)，
∴·＝－1＋10＝9.故选C.
【考点突破】
考点一 平面向量数量积的基本运算(高考热度：★★★)
[例1] 解析：由＝－＝(1，t－3)，||＝＝1，得t＝3，
则＝(1，0)，·＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2.故选C.
[例2] 解析： 法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.
法二：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3, )，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.
考点微练
1．解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，解得t＝，即E，·＝·(0，6)＝16.
2．解析：选D 设M为BC的中点，则＋＝2，
∵(＋)·＝0，
∴2·＝0，
∴⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos∠B＝(||cos∠B)·＝BM·BC＝2×4＝8，故选D.
考点二 平面向量数量积的应用(高考热度：★★★)
考向1 平面向量的模
[例3] 解析：∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos，∴|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.
[例4] 解析：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，
∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)·a·b＋t2b2，
∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，
∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，
∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
考点微练
1．解析：由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.
2．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)．
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)．
所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5.
考向2 平面向量的夹角
[例5] 解析：(1)由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴ a·b＝b2.∵ |a|＝2|b|，
∴ cos〈a，b〉＝＝＝.
∵ 0≤〈a，b〉≤π，∴ a与b的夹角为.故选B.
[例6] 解析：由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
考点微练
1．解析：因为与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·＞||2＋||2－2·，即|＋|2＞|－|2.因为－＝，所以|＋|＞||；当|＋|＞||成立时，|＋|2＞|－|2 ·＞0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充分必要条件．故选C.
考向3 平面向量的垂直
[例7] 解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.
[例8] 解析：由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
考点微练
1．解析：根据题意(a－λb)·c＝a·c－λb·c＝3－λ(－2＋3)＝0，所以λ＝3，故选A.
考点三 平面向量的综合应用(高考热度：★★★)
[例9] 解析：建立如图所示的直角坐标系，∠DAB＝30°，AB＝2，AD＝5，
则B(2，0)，D.
因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.
因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，
直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.
由得x＝，y＝－1，所以E(，－1)．
所以·＝·(，－1)＝－1.
[例10] 解析：如图，过点D作DF∥CE，交AB于点F.
由BE＝2EA，D为BC的中点，知BF＝FE＝EA，AO＝OD.
6·＝3·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·
＝＝
＝·－2＋2＝·，得2＝2，
即||＝||，故＝.
考点微练
解：(方法一)设BC的中点为D，AD的中点为E，
则有＋＝2，
则·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2)．
而2＝＝，
当P与E重合时，2有最小值0，
故此时·(＋)取最小值，
最小值为－22＝－2×＝－.
(方法二) 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)．
设P(x，y)，取BC的中点D，
·(＋)＝2·
＝2(－1－x，－y)·
＝2
＝2.
因此，当x＝－，y＝时，
·(＋)取最小值，为2×＝－.
则D.
新课程标准 考向预测
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 命题角度 1.平面向量数量积的运算 2.平面向量数量积的性质 3.平面向量数量积的应用
核心素养 数学运算、直观想象
【基础梳理】
一、平面向量的数量积
1．数量积定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________，其中θ为a与b的夹角．规定：__________与任意向量的数量积为0.
2．向量的投影：_______________叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
3．向量数量积的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__________的乘积．
基础小测
1．(2020届山东青岛第二中学高三月考)已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
二、平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
定义及性质 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝________
夹角 cos θ＝ cos θ＝________________
a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b| 与|a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)交换律：a·b＝________；
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
基础小测
1．(2020届安徽皖南八校上学期第一次联考)设a＝(1，2)，b＝(x，1)，且a⊥b，则|a＋2b|＝( )
A． B．4 C．5 D．5
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)， ＝(2，1)，则· 等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
三、平面向量的应用
1．平面向量在三角函数中的应用主要体现在：(1)当向量的坐标中含有三角函数的形式时，通常用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用正弦、余弦函数在定义域内的有界性求值域等．
2．平面向量在几何中的应用主要体现在：(1)以几何为载体，求解几何图形中相关线段对应的向量间的夹角、数量积、模等问题；(2)在几何图形中，部分条件以向量的形式呈现，求解相关的向量问题或几何问题．
基础小测
1．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)，且y＝f(x)的图象经过点，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，||＝6，||＝6，＝，则·＝( )
A．－14 B．－9 C．9 D．14
【考点突破】
考点一 平面向量数量积的基本运算(高考热度：★★★)
[例1] (2019全国卷Ⅱ，3)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
[例2] (2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
解题技法
求非零向量a，b的数量积的3种方法
方法 适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
基底法 直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法 ①已知或可求两个向量的坐标； ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
考点微练
1．(2020届山东济南历城区第二中学高三月考)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12 C．8 D．－4
2．(2020·湖北汉阳模拟)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A．4 B．－4
C．－8 D．8
考点二 平面向量数量积的应用(高考热度：★★★)
考向1 平面向量的模
[例3] 已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝( )
A．6 B．3
C．2 D．3
[例4] 已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B．
C. D.
解题技法
求平面向量模的2种方法
公式法 利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法 利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
考点微练
1．(2020届河北石家庄二中高三月考)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
考向2 平面向量的夹角
[例5] (2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D.
[例6] (2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解题技法
求平面向量夹角的2种方法
定义法 当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得
坐标法 若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]
考点微练
1．(2019北京卷，7)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考向3 平面向量的垂直
[例7] 已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
[例8] 已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解题技法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
考点微练
1．(2020届山东模拟)设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)⊥c，则λ＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
考点三 平面向量的综合应用(高考热度：★★★)
[例9] (2019天津卷，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
[例10] (2019江苏卷，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
方法总结
求解平面向量与平面几何综合问题的主要策略
(1)向量法，即利用向量的几何意义，选好一组基底，结合平行四边形法则与三角形法则，将所涉及向量利用基底表示，利用向量的位置关系构造关于设定的未知量的方程(组)，从而使问题得到解决．
(2)坐标法，即利用平面图形的垂直关系，或可构造出垂直关系，建立平面直角坐标系，表示出相关点或向量的坐标，再利用平面向量的坐标运算求解相关问题．
考点微练
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC上一点，求·(＋)的最小值．
参考答案
【基础梳理】
一、平面向量的数量积
基础小测
1．解析：∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，∴a·b＋b·c＋a·c＝－.
2．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
二、平面向量数量积的运算律与性质
基础小测
1．解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1·x＋2·1＝0，解得x＝－2，
∴b＝(－2，1)，∴a＋2b＝(－3，4)，∴|a＋2b|＝5，故选C.
2．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.故选A.
3．解析：由题意得a＋b＝(m－1，3)．因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
三、平面向量的应用
基础小测
1．解析：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos2x
.∵f ＝2，∴m(1＋1)＋0＝2，∴m＝1.
2．解析：以AC，AB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则C(6，0)，B(0，6)，
∴D(3，3)．∵＝，∴E(1，)，∴＝(1，)，＝(－1，5)，
∴·＝－1＋10＝9.故选C.
【考点突破】
考点一 平面向量数量积的基本运算(高考热度：★★★)
[例1] 解析：由＝－＝(1，t－3)，||＝＝1，得t＝3，
则＝(1，0)，·＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2.故选C.
[例2] 解析： 法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.
法二：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3, )，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.
考点微练
1．解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，解得t＝，即E，·＝·(0，6)＝16.
2．解析：选D 设M为BC的中点，则＋＝2，
∵(＋)·＝0，
∴2·＝0，
∴⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos∠B＝(||cos∠B)·＝BM·BC＝2×4＝8，故选D.
考点二 平面向量数量积的应用(高考热度：★★★)
考向1 平面向量的模
[例3] 解析：∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos，∴|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.
[例4] 解析：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，
∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)·a·b＋t2b2，
∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，
∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，
∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
考点微练
1．解析：由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.
2．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)．
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)．
所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5.
考向2 平面向量的夹角
[例5] 解析：(1)由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴ a·b＝b2.∵ |a|＝2|b|，
∴ cos〈a，b〉＝＝＝.
∵ 0≤〈a，b〉≤π，∴ a与b的夹角为.故选B.
[例6] 解析：由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
考点微练
1．解析：因为与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·＞||2＋||2－2·，即|＋|2＞|－|2.因为－＝，所以|＋|＞||；当|＋|＞||成立时，|＋|2＞|－|2 ·＞0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充分必要条件．故选C.
考向3 平面向量的垂直
[例7] 解析：∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.
[例8] 解析：由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
考点微练
1．解析：根据题意(a－λb)·c＝a·c－λb·c＝3－λ(－2＋3)＝0，所以λ＝3，故选A.
考点三 平面向量的综合应用(高考热度：★★★)
[例9] 解析：建立如图所示的直角坐标系，∠DAB＝30°，AB＝2，AD＝5，
则B(2，0)，D.
因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.
因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，
直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.
由得x＝，y＝－1，所以E(，－1)．
所以·＝·(，－1)＝－1.
[例10] 解析：如图，过点D作DF∥CE，交AB于点F.
由BE＝2EA，D为BC的中点，知BF＝FE＝EA，AO＝OD.
6·＝3·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·
＝＝
＝·－2＋2＝·，得2＝2，
即||＝||，故＝.
考点微练
解：(方法一)设BC的中点为D，AD的中点为E，
则有＋＝2，
则·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2)．
而2＝＝，
当P与E重合时，2有最小值0，
故此时·(＋)取最小值，
最小值为－22＝－2×＝－.
(方法二) 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)．
设P(x，y)，取BC的中点D，
·(＋)＝2·
＝2(－1－x，－y)·
＝2
＝2.
因此，当x＝－，y＝时，
·(＋)取最小值，为2×＝－.
则D.