人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：三角函数的图象和性质学案（含答案）

三角函数的图象和性质
新课程标准 考向预测
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等) ． 命题角度 1．三角函数的定义域 2．三角函数的值域与最值 3．三角函数的单调性 4．三角函数的周期性、奇偶性、对称性
核心素养 直观想象、逻辑推理
【基础梳理】
基础点　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 ________ ________ {x|x∈R且x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域 ________ ________ R
单调性 在______________(k∈Z)上递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在________(k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)　　 (k∈Z)上递增
最值 x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；_______________(k∈Z)时，ymin＝－1 ________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值
奇偶性 ________ ________ 奇函数
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
对称性 对称 中心 ________ (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
对称 轴 直线x＝＋kπ (k∈Z) 直线________ (k∈Z) 无对称轴
最小正 周期 2π ________ π
基础小测
1．函数y＝2－cos(x∈R)的最大值和最小正周期分别是(　　)
A．2，3π B．1，6π
C．3，6π D．3，3π
2．(2020届山西太原第五中学高三月考)下列函数中最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(＋) D．y＝2sin(2x－)
3．函数y＝sin(x－)的图象的对称轴为__________________，对称中心为________________．
4．(2020届安徽阜阳临泉县第一中学高三月考)函数f(x)＝cos x－sin x(x∈[0，π])的单调递增区间为________．
【考点突破】
考点一　三角函数的定义域(高考热度： ★★★)
[例1] 函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是(　　)
A．{x|x≠} B．{x|x≠－}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z} D．{x|x≠＋，k∈Z}
[例2] (2020届山东济宁一中高三月考)函数y＝的定义域为_________________________．
方法总结
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
考点二　三角函数的值域(或最值)(高考热度：★★★)
[例3] 函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值为(　　)
A． B．1 C． D．
[例4] 函数f(x)＝sin2x＋cos x－(x∈(0，))的最大值是________．
方法总结
求三角函数的值域(或最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．
考点微练
1．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0， ]上的值域为________．
2．(2020届江西新余四中高三月考)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________________．
考点三　三角函数的单调性(高考热度：★★)
考向1　求三角函数的单调区间
[例5] 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
方法总结
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
考点微练
1．(2020届天津耀华中学高三月考)已知函数f(x)＝2sin(－2x)，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
B．[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
C．[＋kπ，＋kπ](k∈Z)
D．[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)
2．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝_____，函数f(x)的单调递增区间__________________________．
考向2　已知单调性求参数
[例6] 若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B． C． D．π
方法总结
对于已知函数的单调区间的某一部分来确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
考点微练
(2020届福建闽侯第一中学高三月考)已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
对点变式
若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是________.
考点四　三角函数的周期性、奇偶性、图象的对称性(高考热度：★)
[例7] (多选题)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　 　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
[例8] 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点(，0)对称 B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
考点微练
1．已知函数y＝sin(2x＋φ)(－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
2．已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)，θ∈(－，)是偶函数，则θ的值为________．
3．若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为________．
方法总结
解决这类问题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一名，即“一角一函数”，其解题思维流程是：
参考答案
基础小测
1．解析：由y＝2－cos 知，ymax＝2－(－1)＝3，最小正周期T＝＝6π.
2．解析：函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π.∵sin＝1，∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．
3．解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，故函数y＝sin的图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为点，k∈Z.
4．解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos .由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)．∵x∈[0，π]，∴f(x)在上单调递增．
【考点突破】
考点一　三角函数的定义域(高考热度： ★★★)
[例1] 解析：由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)．故选D.
[例2] 解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y＝sin x和函数y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为{x.
考点二　三角函数的值域(或最值)(高考热度：★★★)
[例3] 解析：cos ＝cos ＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，故函数的最大值为.
[例4] 解析：依题意知，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1.因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
考点微练
1．解析：当x∈时，2x－∈，∴sin∈，故3sin∈，∴函数f(x)在区间上的值域为.
2．解析：设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.
考点三　三角函数的单调性(高考热度：★★)
考向1　求三角函数的单调区间
[例5] 解：(1)由sin＝，cos ＝－，
f ＝－－2××，
得f ＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，
得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
所以f(x)的最小正周期是π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以， f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
考点微练
1．解析：函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
2．解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋，则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
考向2　已知单调性求参数
[例6] 解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos .
由题意得a＞0，故－a＋＜.
因为f(x)＝cos 在[－a，a]是减函数，
所以解得0考点微练
解析：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋.又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
对点变式
解析：函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则k∈Z，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈.
考点四　三角函数的周期性、奇偶性、图象的对称性(高考热度：★)
[例7] 解析：∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．∵y＝cos 2x在上单调递减，∴f(x)＝－cos 2x在上单调递增．故选ACD.
[例8] 解析：因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为直线x＝＋2kπ(k∈Z)．令＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称中心为点(k∈Z)，对比选项可知B正确．
考点微练
1．解析：由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．∵φ∈，∴φ＝－.
2．解析：∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．
3．解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)．又ω∈N*，∴ωmin＝2.