人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：三角恒等变换学案（含答案）

三角恒等变换
【基础梳理】
基础点一　半角公式及其变形
1．用cos α表示sin2，cos2，tan2
sin2＝____________；cos2＝____________；tan2＝.
2．用cos α表示sin，cos，tan
sin＝______________；cos＝_____________；
tan＝±.
3．用sin α，cos α表示tan
tan＝＝.
4．sin α＝；cos α＝；tan α＝.
基础小测
1．(2020届山西省实验中学上学期第二次月考)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
2．已知cos α＝，且2π＜α＜3π，则sin＝______．
3．(2019北京卷，9)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
基础点二　常用公式的变化形式
1．tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．sin2α＝__________，cos2α＝__________.
3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
4．辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝)．
基础小测
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b【考点突破】
考点一　三角函数式的化简(高考热度：★★ )
[例1] (2020届安徽六安一中高三月考)化简：＝________.
[例2] (2020届山东师范大学附属中学高三月考)化简：＝________.
[解题技法]
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
考点微练
1．·等于 (　　)
A．－sin α　　　　　　 B．－cos α
C．sin α D．cos α
2．化简：－2cos(α＋β)．
考点二　三角函数式的求值(高考热度：★★)
考向1　给角求值
[例3]　计算＝________．
考向2　给值求值
[例4]　已知sin＝，α∈．
求：(1)cos α的值；
(2)sin的值．
技巧点拨：给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
考向3　给值求角
[例5] (2020届辽宁大连第二十四中学高三检测)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A． B． C． D．或
[例6] (2020届山东滕州第一中学高三月考)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
对点变式
变式1. 若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
变式2. 已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
技巧点拨
解决给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
考点三　三角恒等变形与三角函数的综合应用(高考热度：★★)
[例7] (2019浙江卷，18)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．
[方法总结]
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：构造f(x)＝·(·sin x＋·cos x)；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
考点微练
(2020届山东曲阜二中高三月考)已知函数f(x)＝4tan x·sin(－x)·cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
【素养提升】
三角函数求值技巧
求三角函数值的方法较多，从不同的角度出发可以得到不同的解决方法，但基本的思想是“变换”，主要是“角变换”和“式变换”．
1．角变换
[例1] 已知角α满足cos(α＋)＝，则sin(2α－)＝________.
方法点拨
常见的角变换，如α＝2·＝(α＋β)－β＝[(α＋β)＋(α－β)]，＝(α－)－(－β)等，在复杂的角的关系中也可以通过换元的方法使之简化，再进行相应的变换．
素养微练
1．若sin(x＋)＝，则sin(－2x)＝________.
2．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________.
2. 式变换
[例2] 已知α∈(，π)，若sin 2α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
技巧点拨
三角函数求值的题目解法十分灵活，通过公式变形达到求解的目的是主要的方法．
素养微练
1．已知α是第一象限角，sin α＝，则tan＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．若α∈(0，)，且cos 2α＝sin(α＋)，则tan α＝ (　　)
A． B． C． D．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　半角公式及其变形
基础小测
1．解析：sin 80°＝＝＝，所以tan 100°＝－tan 80°＝－＝－，故选A.
2．解析：∵2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin＜0.∵sin2＝×(1－cos α)＝×＝，∴sin＝－.
3．解析：函数f(x)＝sin22x＝，周期为.
基础点二　常用公式的变化形式
基础小测
1．解析：∵cos2＝＝，∴cos2＝.
2．解析：a＝sin(45°＋14°)＝sin 59° ，b＝sin(45°＋16°)＝sin 61°，c＝×＝sin 60°，所以a【考点突破】
考点一　三角函数式的化简(高考热度：★★ )
[例1] 解析：原式＝＝2cos α.
[例2] 解析：原式＝
＝＝
＝＝cos 2x.
考点微练
1．解析：原式＝＝＝cos α．
答案：D
2．解析：原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
考点二　三角函数式的求值(高考热度：★★)
考向1　给角求值
[例3]　解析：　＝
＝＝
＝＝＝2．
考向2　给值求值
[例4]　解析：　(1)由sin＝，得sin αcos＋cos αsin＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，且α∈ ②
由①②解得cos α＝－．
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－，
∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×＝－．
考向3　给值求角
[例5] 解析：∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝－，sin β＝，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
[例6] 解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.
对点变式
变式1. 解析：∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
变式2. 解析：因为α，β均为锐角，所以－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，所以cos (α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.
考点三　三角恒等变形与三角函数的综合应用(高考热度：★★)
[例7] 解析：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0，
又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.
(2) y＝＋＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos .因此，函数的值域是.
考点微练
解析：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos －
＝4sin xcos －＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x－∈.
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，
即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
【素养提升】
[例1] 【解析】(方法一)∵cos(α＋)＝sin[－(α＋)]＝sin(－α)＝，
∴sin(2α－)＝cos[－(2α－)]＝cos(－2α)＝cos 2(－α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝.
(方法二)令α＋＝θ，则α＝θ－，2α－＝2θ－，cos θ＝，
sin(2α－)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ＝.
素养微练
1．解析：∵sin＝，则sin＝cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．解析：tan(α＋β)＝tan[(α＋2β)－β]＝＝－1.
[例2] 【解析】(方法一)∵α∈(，π), ∴2α∈(，2π)．
而sin 2α＝，∴2α∈(，π)，α∈(，)，
∴sin α＞cos α＞0，
两式相加、相减得∴
解得故选D.
(方法二)由α∈(，π)得2α∈(，2π)．又sin 2α＝，∴2α∈(，π)，得cos 2α＝－，∴cos α＝＝＝＝.
(方法三)∵sin 2α＝2sin α cos α＝2cos α＝，∴(1－cos2α)cos2α＝，即25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝，或cos2α＝.∵α∈(，)，cos2α∈(0，)，∴cos2α＝，∴cos α＝.
答案：D
素养微练
1．解析：(方法一)由已知得，cos α＝，所以tan＝＝＝＝.
(方法二)∵α是第一象限角，sin α＝，∴2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，∴kπ＜＜kπ＋，k∈Z，∴0＜tan＜1，∴sin α＝2sincos ＝＝＝，整理得12tan2－25tan＋12＝0，解得tan＝(舍去)或tan＝.故选D.
2．解析：因为α∈，所以sin α＋cos α＞0.因为cos 2α＝sin，化简可得(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝，所以α∈，两边平方可得：1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，
所以＝，分子、分母同除以cos2α可得＝，解得tan α＝或(舍去)，即tan α＝.