人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：同角三角函数的基本关系及诱导公式学案（含答案）

同角三角函数的基本关系及诱导公式
新课程标准 考向预测
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x． 2．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式． 命题角度 1．同角三角函数基本关系式的应用 2．诱导公式的应用 3．同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用
核心 素养 数学运算
【基础梳理】
基础点一　同角三角函数的基本关系
1．平方关系：①_______________________．
2．商数关系：② ______________________．
注意：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
基础小测
1．(2020届山西太原第五中学高三月考)已知α为锐角，且sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．(2020届山东曲阜二中高三月考)设tan α＝，π＜α＜，则sin α－cos α的值为(　　)
A．－＋ B．－－
C．＋ D．－
3．(2020届湖北荆州中学高三月考)已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos2α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．－
基础点二　诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α ______ cos α ______
余弦 cos α －cos α ____ －cos α ____ －sin α
正切 tan α ____ －tan α ______
规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限
基础小测
1．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
2．(2019四川成都月考)化简：
＝________.
【考点突破】
考点一　同角三角函数的基本关系及其应用(高考热度：★★)
[例1] 已知α∈(0，)，tan α＝2，则cos(α－)＝________.
[解题通法]
1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点微练
1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)
A．－　　　 B.　　　 C．－　　　 D.
2．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．(2019广东惠阳高级中学月考)已知α∈(，π)，4sin α＋3cos α＝0，则sin 2α＋3cos2α的值为________．
4．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________.
考点二　诱导公式的应用(高考热度：★★)
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
[方法总结]
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整
数倍的三角函数式中，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
考点微练
1．若cos(－α)＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
2．设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f()＝________.
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合运用(高考热度：★)
[例3] 已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan(θ－)＝________.
[易错提示]
注意θ＋与－θ互余．
[方法总结]
1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活运用公式进行变形．常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
2．注意角的范围对三角函数符号的影响．
考点微练
1．(2020届江西九江第一中学高三月考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A． B． C． D．
2．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin(－α)·tan α＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　同角三角函数的基本关系
基础小测
1．解析：因为α为锐角，所以cos α＝＝.故选B.
2．解析：∵ tan α＝，π＜α＜，∴sin α＝－，cos α＝－，∴sin α－cos α＝－－＝－.故选A.
3．解析：由题意知tan α＝2，∴sin 2α－2cos2α＝＝＝.故选A.
基础点二　诱导公式
基础小测
1．解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
2．解析：原式＝＝＝1.
【考点突破】
考点一　同角三角函数的基本关系及其应用(高考热度：★★)
[例1] 解析：因为α∈，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin＝×＋×＝.
考点微练
1．解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.
2．解析：∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.
3．解析：由4sin α＋3cos α＝0，可得tan α＝－，则sin 2α＋3cos2α＝＝＝＝.
4．解析：由题知sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝，∴sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝.∴sin αcos α＝ab＝，∴cos＝－sin 2α＝－2sinαcos α＝－.
考点二　诱导公式的应用(高考热度：★★)
[例2] 解析：α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
考点微练
1．解析：由cos ＝，得sin α＝.
∴cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
2．解析：∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝.
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合运用(高考热度：★)
[例3] 解析：由题意，得cos ＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
考点微练
1．解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3.又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sin α＝.
2．解析：∵α∈(0，π)，且cos α＝－，∴sin α＝，因此sin·tan α＝cos α·＝sin α＝.
3．解析：(1)由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π＜x＜0知，sin x＜0，又sin xcos x＝－＜0，∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.
(2) ＝＝＝＝－.