24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质
学习目标
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用
它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新课导入
讲授新知
贰
　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
探究
知识点1　圆的对称性
讲授新知
如何来证明圆是轴对称图形呢？
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
讲授新知
证明：连接OA、OB，则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
讲授新知
例1 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
范例应用
显然，由上面的习题可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
B
O
A
C
D
E
知识点2　垂径定理及其推论
讲授新知
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
讲授新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
范例应用
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
讲授新知
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
讲授新知
例2 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
范例应用
知识点
例 3 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
讲授新知
解：设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示：
∵拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝ AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2﹣（OC﹣CD）2，
即18.72＝AO2﹣（AO﹣7.2）2，
解得：AO≈27.9m．
即圆弧半径为27.9m．
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m
当堂训练
叁
当堂训练
1.下列说法中正确的是( )
A.在同一个圆中最长的弦只有一条
B.垂直于弦的直径必平分弦
C.平分弦的直径必垂直于弦
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
B
2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .
C
10
6
4.如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径.
解：设半径为r.
∵OC⊥AB，∴AD=BD= AB=150m.
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
当堂训练
课堂小结
肆
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 P89页2题 90页9题 P89页 1题
提高题：2.请学有余力的同学同步训练习题
谢
谢
谢谢
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