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九年级数学上册《24.2.2直线与圆的位置关系》导学案
1、理解并学会判断直线和圆的三种位置关系
2、学会运用切线长定理解决问题
3、学会运用圆的切线来解题，并能证明圆的切线
重点：理解并学会判断直线和圆的三种位置关系；利用切线长定理、圆的切线来解题
难点：掌握方法来证明一条直线的圆的切线
1、直线和圆的三种位置关系：
（1）相离：一条直线和圆没有公共点．
（2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
（3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
2、判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
（1）直线l和⊙O相交 d＜r
（2）直线l和⊙O相切 d=r
（3）直线l和⊙O相离 d＞r．
3、切线长定理
从圆外一点引出圆的两条切线，这两条切线的长度相等。
4、切线的证明
（1）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
（2）经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
1、（2021 嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解：的半径为，线段，，
即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，
点在外，点在上，
直线与的位置关系为相交或相切，
2、（2020秋 九龙坡区校级期末）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
．
3、（2021 道外区三模）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于
A．6 B．12 C．9 D．18
【答案】B
【解答】解：、为的切线，，
，
、为的切线，
，
同理，，
的周长，
4、（2020秋 海珠区期末）如图，，，分别与相切于、、三点，且，，，则的长为
A． B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：连接，如图
，，分别与相切于、、三点，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
5、（2020九上·泰兴期中）如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为 度.
【答案】55
【解答】解：如图，连接OA、OB
∵PA、PB分别切⊙O于A、B点，
6、（2021 崆峒区一模）如图，是的直径，交的中点于，．
（1）求证：是的切线．
（2）已知：，，求线段的长．
【解答】（1）证明：连接
是的中点，
．
，
．
又，
．
是的切线；
（2）是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
7、（2020九上·耿马期末）如图，△ABC的边AC与 ⊙O 分别交于C、D两点，且CD是 ⊙O 的直径，AB是 ⊙O 的切线，切点为B， ， AB=6 ，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接OB，
∵AB是 ⊙O 的切线，
∴
∵
∴OA=2OB，
∴在 Rt△ABO 中，OB2+AB2=(2OB)2
即 OB2+36=4OB2
解得：
∴S阴影=S△AOB-S扇形OBD=
1、（2021九上·天门月考）已知圆的半径为10cm，如果圆心O到直线的距离为12cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都可能
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，
∵圆心O到一条直线的距离为12cm＞10cm，
∴直线和圆相离.
2、（2021 九龙坡区模拟）如图，、是的切线，其中、为切点，点在上，，则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接、，如图
、是的切线，
，，
，
，
，
．
3、（2021春 瑞安市月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作．若与相切，则的长为 ．
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【解答】解：设与的切点为，连接，
则，
在中，，
，
4、（2020秋 虎林市期末）如图，、是的切线，切点分别是、，若，．则的半径是 ．
【答案】
【解答】解：连接、、，如下图所示：
、为圆的两条切线，
由切线长定理可知：，，；
、为半径长，，
，
，BP=BA=4
在Rt△OBP中，，BP=4
设OB=x，则OP=2x
∴OB2+BP2=OP2
即x2+42=（2x）2
解得x=
所以圆的半径为
5、（2021 包头）如图，在中，，以为直径的与相切于点，连接．若，则的周长为 ．
【答案】
【解答】解：连接，过点作交于点，
四边形为平行四边形，
，，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
为直径，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
的周长为，
6、（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°,AB=6．△ABC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
7、（2021九上·南昌月考）如图所示，AB是 ⊙O 的直径，点F是半圆上的一动点(F不与A，B重合)，弦 AD 平分∠BAF，过点D作 DE⊥AF交射线 AF 于点E．求证： DE 与 ⊙O 相切
【解答】证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD=∠FAD，
∴ ，
∴ ，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是 ⊙O 的半径，
∴ 与 ⊙O 相切．
8、（2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
【解答】（1）证明：连接，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
是的中位线，
，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，
线段的长为
本节课所学知识点
错题及错误原因
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1、理解并学会判断直线和圆的三种位置关系
2、学会运用切线长定理解决问题
3、学会运用圆的切线来解题，并能证明圆的切线
重点：理解并学会判断直线和圆的三种位置关系；利用切线长定理、圆的切线来解题
难点：掌握方法来证明一条直线的圆的切线
1、直线和圆的三种位置关系：
（1）相离：一条直线和圆没有公共点．
（2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
（3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
2、判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
（1）直线l和⊙O相交 d＜r
（2）直线l和⊙O相切 d=r
（3）直线l和⊙O相离 d＞r．
3、切线长定理
从圆外一点引出圆的两条切线，这两条切线的长度相等。
4、切线的证明
（1）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
（2）经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
1、（2021 嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2、（2020秋 九龙坡区校级期末）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
3、（2021 道外区三模）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于
A．6 B．12 C．9 D．18
4、（2020秋 海珠区期末）如图，，，分别与相切于、、三点，且，，，则的长为
A． B． C． D．5
5、（2020九上·泰兴期中）如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为 度.
6、（2021 崆峒区一模）如图，是的直径，交的中点于，．
（1）求证：是的切线．
（2）已知：，，求线段的长．
7、（2020九上·耿马期末）如图，△ABC的边AC与 ⊙O 分别交于C、D两点，且CD是 ⊙O 的直径，AB是 ⊙O 的切线，切点为B， ， AB=6 ，求图中阴影部分的面积．
1、（2021九上·天门月考）已知圆的半径为10cm，如果圆心O到直线的距离为12cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都可能
2、（2021 九龙坡区模拟）如图，、是的切线，其中、为切点，点在上，，则等于
A． B． C． D．
3、（2021春 瑞安市月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作．若与相切，则的长为 ．
A．3 B． C．6 D．
4、（2020秋 虎林市期末）如图，、是的切线，切点分别是、，若，．则的半径是 ．
5、（2021 包头）如图，在中，，以为直径的与相切于点，连接．若，则的周长为 ．
6、（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°,AB=6．△ABC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
7、（2021九上·南昌月考）如图所示，AB是 ⊙O 的直径，点F是半圆上的一动点(F不与A，B重合)，弦 AD 平分∠BAF，过点D作 DE⊥AF交射线 AF 于点E．求证： DE 与 ⊙O 相切
8、（2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
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