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九年级数学上册《24.4弧长和扇形面积》导学案
1、熟记并学会运用弧长公式、扇形的面积公式
2、求阴影部分的面积要灵活运用旋转、割补法，结合扇形、三角形的面积公式来解答
3、理解圆锥侧面积与母线、底面半径的关系，学会灵活运用公式
重点：运用弧长公式、扇形面积公式来解答题目；灵活运用公式来解决圆锥侧面积与母线、底面半径的关系
难点：求阴影部分的面积
1、弧长的计算
（1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2、扇形的面积计算
（1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
3、圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
1、（2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它所对应的弧长为，
，解得，
扇形．
2、（2020秋 福州期末）若的半径为2，则的圆心角所对的弧长是 ．
【答案】
【解答】解：的半径为2，圆心角是，
所对的弧长为，
3、（2021 砀山县一模）如图，在中，，以为直径的，交于点，交于点．若劣弧的长为，则 ．
【答案】30°
【解答】解：连接
为的直径，
，
，
，
连接，，
设，
劣弧的长为，
，
，
，
，
4、（2021 道外区三模）某扇形的圆心角为，面积为，该扇形的弧长为 ．
【答案】
【解答】解：扇形的圆心角为，面积为，
，
，
，
5、（2021 瓯海区模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径是，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径是．
6、（2020秋 禹城市期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
A．1 B．12 C．3 D．6
【答案】C
【解答】解：圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，则：，
解得．
7、（2021 碑林区校级模拟）如图中，，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为弧，已知，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解答】解：在中，，，
，
，
，
由题意得，，，
则图中阴影部分的面积，
8、（2021 天桥区一模）如图，菱形的边长为2，点、、在以点为圆心、为半径的弧上，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解答】解：菱形的边长为2，
，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
9、（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
【解答】解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∴ 的长＝ ＝ ，
连接AD、OD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，又AB＝AC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴ 的长＝ ＝ 。
10、（2020九上·扎兰屯期末）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4
∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC
∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′= ×（42-22）=4π（cm2）．
1、（2021 庐阳区校级模拟）如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为的直径，
，
的长为：，
2、（2021 上城区校级一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知：，
在中，，
，
，
，
，
故、、错误，
3、（2020秋 元阳县期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为12，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接、，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
的半径为12，
的长是，
4、（2021春 未央区校级月考）如图，菱形的边长为2，且点，，在上，则的长度为
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长度是，
5、（2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它所对应的弧长为，
，解得，
扇形．
6、（2021 富阳区二模）已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的弧长为
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：设扇形的面积为，
根据题意得，解得，
所以扇形的弧长．
7、（2021 江阴市模拟）圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：这个圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积．
8、（2021 道里区三模）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是，则该扇形的圆心角为 度．
【答案】120
【解答】解：设该扇形的圆心角度数为，
扇形的面积为，半径为3，
，
解得：．
该扇形的圆心角度数为．
9、（2021 绥宁县一模）如图，以五边形各个顶点为圆心，为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
【答案】
【解答】解：五边形的内角和为，
又为半径，
，
10、（2021 黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 ．
【答案】
【解答】解：底面圆的半径为，
底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
这个冰淇淋外壳的侧面积
11、（2021 镇平县模拟）如图，中，长为，，，将绕点逆时针旋转至△，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【解答】解：，，
，
，，
边扫过区域的面积为．
12、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线.
（2）解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA= ，
∴阴影部分面积S= ﹣ ×2× = ﹣ ．
本节课所学知识点
错题及错误原因
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九年级数学上册《24.4弧长和扇形面积》导学案
1、熟记并学会运用弧长公式、扇形的面积公式
2、求阴影部分的面积要灵活运用旋转、割补法，结合扇形、三角形的面积公式来解答
3、理解圆锥侧面积与母线、底面半径的关系，学会灵活运用公式
重点：运用弧长公式、扇形面积公式来解答题目；灵活运用公式来解决圆锥侧面积与母线、底面半径的关系
难点：求阴影部分的面积
1、弧长的计算
（1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2、扇形的面积计算
（1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
3、圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
1、（2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
2、（2020秋 福州期末）若的半径为2，则的圆心角所对的弧长是 ．
3、（2021 砀山县一模）如图，在中，，以为直径的，交于点，交于点．若劣弧的长为，则 ．
4、（2021 道外区三模）某扇形的圆心角为，面积为，该扇形的弧长为 ．
5、（2021 瓯海区模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为
A． B． C． D．
6、（2020秋 禹城市期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
A．1 B．12 C．3 D．6
7、（2021 碑林区校级模拟）如图中，，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为弧，已知，则图中阴影部分的面积为 ．
8、（2021 天桥区一模）如图，菱形的边长为2，点、、在以点为圆心、为半径的弧上，则图中阴影部分的面积是 ．
9、（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
10、（2020九上·扎兰屯期末）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．
1、（2021 庐阳区校级模拟）如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为
A． B． C． D．
2、（2021 上城区校级一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为
A． B． C． D．
3、（2020秋 元阳县期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为12，，则的长为
A． B． C． D．
4、（2021春 未央区校级月考）如图，菱形的边长为2，且点，，在上，则的长度为
A． B． C． D．
5、（2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
6、（2021 富阳区二模）已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的弧长为
A．4 B．2 C． D．
7、（2021 江阴市模拟）圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为
A． B． C． D．
8、（2021 道里区三模）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是，则该扇形的圆心角为 度．
9、（2021 绥宁县一模）如图，以五边形各个顶点为圆心，为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
10、（2021 黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 ．
11、（2021 镇平县模拟）如图，中，长为，，，将绕点逆时针旋转至△，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．
12、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
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错题及错误原因
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