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九年级数学上册《第二十四章圆》单元检测卷
一、选择题
1．（2021九上·乐清月考）如图，点A，B，C都在 上，且点C在弦 所对的优弧上，如果 ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九下·长沙开学考）如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（ ）
A．48° B．24° C．36° D．96°
3．（2022·无棣模拟）如图，在⊙O中，弦，圆心O到AB的距离，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·东海期末）已知 的半径为4，点P在 外， 的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021九上·上城期中）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
6．（2020九上·西城期末）如图， 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
7．（2022·武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八下·双流期末）正多边形的一个外角等于 ，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（2021九上·彭水期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022·章丘模拟）如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2021九上·北仑月考）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD为（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
12．（2020九上·舒兰期末）如图，△ABC内接于⊙O，若 ∠AOB=100° ，则∠ACB的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．80°
13．（2021九上·衢州期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·北部湾模拟）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径的圆上一 动点，连结CE，点P为CE的中点，连结BP，若AC= ，BD= ，则BP的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2021·柳北模拟）如图，正五边形两条对称轴所夹的 为 度.
16．（2021·禹州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝120°，则∠AOC的度数为 .
17．（2021九上·巧家期末）在半径为5的 中，若弦 为 ，则弦 所对的圆周角的度数为 .
18．已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设 ，根据 ，一定有 ，但这与已知 相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
19．（2022·固始模拟）如图，已知中，，，，则经过A，B，C三点的的长度为 .
20．（2022九下·蓬安开学考）如图，四边形ABCD是 的内接四边形， 的半径为 ，则弧 的长为 .
21．（2021·南通模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为 .
22．（2021九上·江阴月考）如图，等边△ABC中，AB=2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 .
三、作图题
23．（2022·绥化模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
⑴画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；
⑵画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；
⑶在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
24．（2022·玉山模拟）请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留画图痕迹，不写作法）
已知四边形ABCD内接于，且已知．
（1）在图1中已知，在上求作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图2中，已知，在上求作一个度数为30°的圆周角．
四、解答题
25．（2021九上·东西湖月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.
26．（2021九上·长兴期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在 ， 上，且AB=CD，M是 的中点．求证：MB=MD．
27．（2021九上·巧家期末）已知排水管的截面为如图所示的 半径为13dm，圆心 到水面的距离是5dm，求水面宽.
28．（2020七上·广饶期末）如图，点A的坐标为（3，0），以点A为圆心，5个单位长度为半径画圆，分别交x轴于点B、C，交y轴于点E、F．求点B、C、E、F的坐标．
29．（2021九下·自贡开学考）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
30．（2021九上·温州月考）如图，点E为 弦 的中点，过点O，E作直径 ，连接 ，过点C的弦 交 于G.求证： .
31．（2021·北辰模拟）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ， ．
（Ⅰ）如图①，若∠AEC=85°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作的切线DF，与AB的延长线相交于点F．求∠F的大小．
32．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
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九年级数学上册《第二十四章圆》单元检测卷
一、选择题
1．（2021九上·乐清月考）如图，点A，B，C都在 上，且点C在弦 所对的优弧上，如果 ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ×64°=32°.
即∠ACB的度数是32°.
2．（2021九下·长沙开学考）如图，圆周角∠ACB的度数为48°，则圆心角∠AOB的度数为（ ）
A．48° B．24° C．36° D．96°
【答案】D
【解答】解：由题意得：圆周角∠ACB的度数为48°，
圆心角∠AOB的度数为48°×2=96°.
3．（2022·无棣模拟）如图，在⊙O中，弦，圆心O到AB的距离，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】由题意知OC=1，且OC⊥AB，
∵AB=4，
∴AC=AB=2，
则，
4．（2021九上·东海期末）已知 的半径为4，点P在 外， 的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
5．（2021九上·上城期中）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
【答案】C
【解答】解：根据垂径定理可得A、B、D三个选项都是正确的.
6．（2020九上·西城期末）如图， 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
【答案】C
【解答】解：∵ 是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ ，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
7．（2022·武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心，半径 ，圆心角 ，则这段弯路（ ）的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（ ）的长度为： ，
8．（2021八下·双流期末）正多边形的一个外角等于 ，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】360°÷45°=8
故正多边形的边数为8
9．（2021九上·彭水期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°， ，则 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
10．（2022·章丘模拟）如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB=90°，
∵∠OBA′=45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′=PB=AB=，
∴，
∴S阴影=S扇形ABA′-S△A′BP=，
11．（2021九上·北仑月考）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD为（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【解答】解：连接OA，
设OA=OD=r，则OE=r-1，
∵AB⊥CD
∴AE=AB=×10=5
在Rt△AOE中
AO2=AE2+OE2即r2=52+（r-1）2
解之：r=13.
∴CD=2r=2×13=26.
12．（2020九上·舒兰期末）如图，△ABC内接于⊙O，若 ∠AOB=100° ，则∠ACB的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°，
13．（2021九上·衢州期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QBF=90°，
∵M是线段QF的中点，
∴ ，
∴M在以B为圆心，以 的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为 ，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是AF（QF）的中点，
∴ ，
∴ ，
同理可求得 ，
∴ ，
∴线段QF的中点M所经过的路线长 .
14．（2021·北部湾模拟）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径的圆上一 动点，连结CE，点P为CE的中点，连结BP，若AC= ，BD= ，则BP的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝a，BO＝DO＝BD＝b，
∵点P为CE中点，
∴OP∥AE，且OP＝AE＝1，
∴随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，
则当⊙O与OD交于点P时，BP最大，为BO＋OP＝ ，
二、填空题
15．（2021·柳北模拟）如图，正五边形两条对称轴所夹的 为 度.
【答案】72
【解答】解：∵正五边形的中心角为：360°÷5＝72°，
∴相邻两条对称轴所夹锐角 的度数为72°.
16．（2021·禹州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝120°，则∠AOC的度数为 .
【答案】120°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180° 120°=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°.
17．（2021九上·巧家期末）在半径为5的 中，若弦 为 ，则弦 所对的圆周角的度数为 .
【答案】45°或135°
【解答】解：连接OA、OB，C为优弧AB上一点，D为劣弧AB上一点，如图所示：
则OA=OB=5，
∵AB= ，
由于 ，即 ，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB= ∠AOB=45°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=135°，
即弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
18．已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设 ，根据 ，一定有 ，但这与已知 相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2
【解答】解：证明：假设∠C=90°，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾，
故原命题成立.
19．（2022·固始模拟）如图，已知中，，，，则经过A，B，C三点的的长度为 .
【答案】
【解答】解：设的所在圆的圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于D，连接AO、BO、AD、BD，如图，
∵∠ABC=35°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=100°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=80°，
∴∠AOB=2∠ADB=160°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠CDB=∠BAC=45°，
∴∠BCD=45°=∠CDB，
∴BD=BC=2，
由勾股定理得：，
∴⊙O的半径为，
∴的长度是.
20．（2022九下·蓬安开学考）如图，四边形ABCD是 的内接四边形， 的半径为 ，则弧 的长为 .
【答案】
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∠D=110°，
∴∠B=180°-∠D=180°-110°=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°，
∴弧AC的长=.
21．（2021·南通模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为 .
【答案】6
【解答】解：∵正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴点P在以CD为直径的半圆上运动，
取CD的中点O，过O作OM⊥CD，且点M在CD的右侧，MO＝2，
连接OP，KM，
∵PK∥BC，BC⊥CD，
∴PK⊥CD，
∴PK∥OM，PK＝OM＝2，
∴四边形POMK是平行四边形，
∵CD＝AB＝4，
∴OP＝ CD＝2，
∴OP＝OM，
∴四边形POMK是菱形，
∴点K在以M为圆心，半径＝2的半圆上运动，
当BK与⊙M相切时，∠CBK最大，
∴∠BKM＝90°，
∵BM＝ ＝2 ，
∴BK＝ ＝6.
22．（2021九上·江阴月考）如图，等边△ABC中，AB=2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 .
【答案】
【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，AB=2，
∴AC=AB=2，
设AC交圆A于点F，
∵点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，
∴当点D与点F重合时，如图1，FE=0.5，
当点D在CA延长线与圆A的交点时，如图2，FE=0.5，
当CD与圆A相切时，FE=0.5，
故点E在以点F为圆心，0.5为半径的圆上运动，
当点B、F、E三点共线时，线段BE有最大值和最小值，如图4：
∵AF=1，AC=2，
∴FC=1，
∴点F是AC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AC，
∴BF= ，
线段BE的最大值= ，最小值= ，
∴线段BE的最大值与最小值之和为 .
三、作图题
23．（2022·绥化模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
⑴画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
⑵画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
⑶在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【解答】解：⑴如图所示，
；
点的坐标是；
⑵如图所示；
点的坐标是；
⑶点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
24．（2022·玉山模拟）请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留画图痕迹，不写作法）
已知四边形ABCD内接于，且已知．
（1）在图1中已知，在上求作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图2中，已知，在上求作一个度数为30°的圆周角．
【解答】（1）解：如图1，（或）即为所求作的角，
（2）解：如图2，，
四、解答题
25．（2021九上·东西湖月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.
【解答】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD.
26．（2021九上·长兴期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在 ， 上，且AB=CD，M是 的中点．求证：MB=MD．
【解答】证明：∵M是AC的中点，∴ ，
∵AB=CD，∴AB=CD，
，即 ，
∴MB=MD．
27．（2021九上·巧家期末）已知排水管的截面为如图所示的 半径为13dm，圆心 到水面的距离是5dm，求水面宽.
【解答】解：过O点作OC⊥AB，连接OB，
∴AB=2BC，
在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，
∵OB=13 ，OC=5 ，
∴BC= ），
∴AB=2BC=24（ ）.
答：水面宽AB为24 .
28．（2020七上·广饶期末）如图，点A的坐标为（3，0），以点A为圆心，5个单位长度为半径画圆，分别交x轴于点B、C，交y轴于点E、F．求点B、C、E、F的坐标．
【解答】解：连接AE，如图所示：
∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3，
∵BA＝5，
∴OB＝2，
∴点B的坐标是（﹣2，0），
∵OC＝5+3＝8，
∴点C的坐标是（8，0），
∵AE＝5，OA＝3，
∴OE 4，
∴点E的坐标是（0，4），
∵BC过圆心，
∴点F的坐标是（0，﹣4）．
29．（2021九下·自贡开学考）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论.
【解答】解：四边形OACB是菱形，理由如下：
∵ C是 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC是等边三角形，
∴OA=AC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形.
30．（2021九上·温州月考）如图，点E为 弦 的中点，过点O，E作直径 ，连接 ，过点C的弦 交 于G.求证： .
【解答】证明：如图，连接AD，
是 的直径，
，即 ，
点E为 弦 的中点，AB是过点E的直径，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
.
31．（2021·北辰模拟）如图，在 中，直径 与弦 相交于点 ， ．
（Ⅰ）如图①，若∠AEC=85°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作的切线DF，与AB的延长线相交于点F．求∠F的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵ ，
∴∠C=
∴
∵直径 与弦 相交于点 ，
∴∠ADB=90°，
又∵
∴
（Ⅱ）∵
∴∠AEC=90°
又∵
∴
∴
∵ 是 的切线
∴
∴
32．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
【解答】解：3.14×900×2×＋700×2
=2826×2×＋1400
=5652×＋1400
=1570＋1400
=2970（厘米）
答：图中所示管道的展直长度是2970厘米。
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