数学试题
考试时间：120 分钟 满分 150 分
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
2
1．设集合 M={x|x＜4}，集合N {x | x 2x 0}则下列关系中正确的是（ ）
A. M∪N=M B. M∪ RN=M C. N∪ RM=R D. M∩N=M
2. 若复数 z 满足 iz 1 i，则 | z |
1 2
A． B． C． D．2
2 22
3.“ x 2,1 ， x2 2a 0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. a 0 B. a 1 C. a 2 D. a 3
4.已知 tan
2，则 cos
（ ）
2 6 3
3 3 4 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
f x ( ,0] f (2x 1) f 1 5.已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足 的 x的取值范围是（ ）
3
1 , 2 1 , 2 A B C
1 2 1 2
． ．3 3 3 3
． , D． ,
2 3 2 3
6.已知函数 f (x) asin x 2cos x x
π π
在 ,
上单调递增，则 a的取值范围为（ ） 3 4
A． a 0 B． 2 a 2 C． a 2 D． a 0或 a -2
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积
S V
分别为V甲和V
甲
乙 ．若 =2
甲
，则 =S V （ ）乙 乙
A． 5 B 5 10． 10 C．2 2 D．
4
a,b,c 1 , ln 5 5ln a ln3 ln 28.已知 ，且 ， 3lnb， 2ln c，则（ ）
e a b c
A．b c a B．c b a
C． a c b D． a b c
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，计 20 分．在每小题给出的选项中，有多个选项是
符合题目要求的，全部选对得 5 分，有选错的得零分，部分选对得 2 分。
9. 已知 a,b,c R ，则下列命题不正确的是（ ）
a b
A. a b B. a b ac2c c bc
2
ab 0 2 a b
C. a b ab
2 1 1
D.
a b ab 0
a b
1
10. ABC内角A， B，C的对边分别为 a，b， c .已知 bsin A 3b c sinB，且 cos A ，则下列
3
结论正确的是（ ）
A． a c 3b B． tan A 2 2
C． ABC 2 2的面积为 a2 D． ABC的周长为 4c
9
11.在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M ， N 分别是棱 A1D1， AB的中点，则（ ）
1
A． 异面直线MD与 AC 所成角的余弦值为 B． MC D N
5 1 1
C．平面MNC截正方体所得的截面是四边形 D． 四面体CAB1D1的外接球体积为 4 3
a ,n为偶数
12. n已知数列 an 满足 a1 8， a2 1， an 2 ，Tn为数列 an 的前 n项和，则下列
an 2,n为奇数
说法正确的有（ ）
n 2
A n B T n2． 为偶数时， a 1 2 ．n 2n 9n
C．T99 2049 D．Tn的最大值为 20
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分。
2x2 1，x 0
13.已知函数 f x ，则 f 4 ___________. f x 3 , x 0
14.正方形 ABCD的边长为 2，以 AB为直径的圆 M，若点 P为圆 M上一动点，则 PC·PD的取值
范围为_______________
x a, x 015.设函数 f x ，已知 xln x, x 0 1 x2，且 f x1 f x2 ，若 x 2 x1的最小值为 e，则 a的值
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为______.
16.在三棱锥P ABC中，PA 平面 ABC，AC CB，PA AC BC 4．以 A 为球心，表面积为
36 的球面与侧面 PBC 的交线长为______．
四、解答题：本题共 6 小题，计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本题满分 10 分）
已知等比数列{ an }的公比 q 1，且 a1 2，2a1 a3 3a2．
（1）求数列{ an }的通项公式；
n
（2）设数列{ an }的前 n 项和为 Sn，求数列{ S }的前 n项和．n 2
18、（本题满分 12 分）
cos B b sin A b c
在① ，② ，③ 2S 3BA BC三个条件中任选一个补充在下面
cosC 2a c sin B sinC a c
的横线上，并加以解答
在 ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c且______，BD是 ABC的平分线交 AC于点D，
若 BD 1，求（1）求角 B (2)求 4a c的最小值.
19、（本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，AD 平面CDP，PD CD，DE PE，
且 PCD 30 .
（1）求证：平面 ADE 平面 ABCD；
（2）若CD 3， AD 2，求直线 PB 与平面 ADP 所成角的正弦值.
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20、（本题满分 12 分）
已知函数 f x 2sin x sin 2 x 2 3 cos x
3 .
3 6 3
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
（2）若函数 g x f 2x a 在区间 0,
7
上恰有3个零点 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，
12
（i）求实数 a的取值范围；
（ii）求 sin 2x1 x2 x3 的值.
21、（本题满分 12 分）
2
已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 2，且满足 4Sn an 1 4n 4．数列 bn 满足
b1 2b2 3b3 nbn (n 1)2
n 1．
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)若从数列 an 中去掉数列 bn 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 cn ，设数列 cn 的前 n
项和为Tn，求T60．
22、（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x， g(x) x2 x 1.
（1）求函数 h(x) f (x) g(x)的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数 f (x)， g(x)的图象都相切.
数学试卷第 4页，共 4页数学试题答案
一．单选题 A C D B A C B A
二.9.ABC 10.ABC 11.BD 12.AC
三.填空题：13. 9 14.[0,8] 15.1-e 16.π
四．解答题
17.由，或（舍去），
所以；----------5分
【小问】
由（1）可知，所以，
所以，设数列{}的前n项和为，
，
，------8分
，得，即.------10分
18.解：若选①：根据正弦定理由，得，即，
又因为，，所以，
又，所以，-------6
因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9； ----12分
若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选③：由得，即，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；------12
19.（1）因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.------6
得证.
（2）如图，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点，，，，则
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令可得平面的法向量为，
设直线PB与平面ADP所成角为，则
.
直线PB与平面ADP所成角的正弦值为.-------12
20.(1)；--------3分
令，解得：，
的单调递增区间为.-----5分
（i）由（1）得：，
当时，，
设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；
作出在上的图像如下图所示，
由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，
实数的取值范围为；-------9分
（ii）设与的个不同的交点分别为，
则，，，
即，
整理可得：，，
.----12分
21.(1)
因为，（1）
所以当时，（2），
所以（1）-（2）得，所以．
因为，所以，
因为，所以，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以． -------3分
因为，（3）
所以当时，，（4）
所以（3）-（4）得，解得，
当时，满足上式，所以．-----------6分
(2)
由（1）知，
数列前60项中与数列的公共项共有6项，且最大公共项为．
又因为，-------8分
从而数列中去掉的是这7项，
所以．--------12分
22.（1）的定义域为，
且，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，
故的极大值为，没有极小值. ----------5分
（2）设直线分别切，的图象于点，，
由可得，得的方程为，
即：；
由可得，
得的方程，即：.
比较的方程，得，
消去，得.
令（），则.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以. -------10
因为，所以在上有一个零点；
由，得，
所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.------12
