数学人教版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前项和（共23张ppt）

(共23张PPT)
4.3.2等比数列的前n项和公式
国际象棋起源于古代印度. 相
传国王要奖赏国际象棋的发明者,
问他想要什么. 发明者说：“请在
棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒 ,
第2个格子里放上 2颗麦粒, 第3个
格子里放上4颗麦粒，依次类推，
每个格子里放的麦粒都是前一个
格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子. 请给我足够的麦粒以实现上述要求” . 国王觉得这个要求不高 , 就欣然同意了. 假定1000粒麦粒的质量为40克 , 据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
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3
3
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1
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6
7
7
8
8
让我们一起来分析一下, 如果把各格所放的麦粒数看成一个数列 , 我们可以得到一个等比数列 , 它的首项是1, 公比是2 , 求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和 , 就是求这个等比数列前64项的和.
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢
设等比数列{an}的首项为a1 , 公比为q , 则{an}的前n项和是
根据等比数列的通项公式，上式可写成
Sn=a1 + a2 + a3 + … + an
Sn=a1 + a1q + a1q2 + … +a1qn-1 ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
qSn=a1q + a1q2 + a1q3 + … +a1qn-1+ a1qn ②
Sn=a1 + a1q + a1q2 + … +a1qn-1 ①
qSn= a1q + a1q2 + … +a1qn-1 + a1qn ②
①②两式的右边由很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得
Sn- qSn=a1- a1qn
即 (1-q)Sn=a1 (1-qn)
当q≠1时，Sn=.
当q=1时， Sn=na1 .
因为an=a1qn-1，所以上面公式还可以写成
Sn= (q≠1).
等比数列{an}的首项为a1 , 公比为q , {an}的前n项和是
Sn= (q≠1).
(q≠1).
na1 (q=1) .
Sn=
有了上述公式，就可以解决本节课开头提出的问题了.
由a1=1, q=2, n=64, 可得
264-1这个数很大，超过1.84×1019 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言.
例7 已知数列{an}是等比数列.
(1)若a1= , q= , 求S8；
(2)若a1=27 , a9= , q<0, 求S8；
(3)若a1=8, q= , Sn= , 求n.
解: (1)因为a1= , q= , 所以
例7 已知数列{an}是等比数列.
(2)若a1=27 , a9= , q<0, 求S8；
(3)若a1=8, q= , Sn= , 求n.
解: (2)由a1=27 , a9= , 可得
例7 已知数列{an}是等比数列.
(3)若a1=8, q= , Sn= , 求n.
解: (3)把a1=8, q= , Sn= 代入Sn =，得
例8 已知等比数列{an}的公比q≠-1，前项和为Sn，证明Sn ， S2n -Sn ， S3n –S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
证明: 当q=1时，
Sn=na1 ，
S2n -Sn=2na1 - na1 ，
S3n –S2n=3na1 -2na1.
所以Sn ， S2n -Sn ， S3n –S2n成等比数列，公比为1.
当q≠1时，
Sn =
S2n-Sn=-
=
S3n–S2n=-
=
因为qn常数，所以Sn ， S2n -Sn ， S3n –S2n成等比数列，公比为qn.
练习[2021·全国甲卷] 记Sn为等比数列{an}的前n项和 .若S2=4, S4=6, 则S6=(　)
A.7 B.8 C.9 D.10
解:方法1:设等比数列{an}的公比为q . 若q=1, 则S4=4a1, S2=2a1, 即S4=2S2, 与已知矛盾, 故q≠1 .
设S6=m, 则由已知得
由②÷①, ③÷①分别得1+q2= , 1+q2+q4=, 解得m=7.
方法2:由等比数列前n项和的性质知, S2, S4 S2, S6 S4也成等比数列, 即有(6 4)2 =4×(S6 6), 解得S6=7.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
取正方形ABCD各边的中点E、F、G、H, 做
第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH
各边的中点I、J、K、L, 做第3个正方形IJKL,
以此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件
可知，这是一个等比数列.
解: 设正方形ABCD的面积为a1 , 后继各正方形的面积依次为a2 , a3 , …, an , …, 则a1=25.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
取正方形ABCD各边的中点E、F、G、H, 做
第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH
各边的中点I、J、K、L, 做第3个正方形IJKL,
以此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
解: 设正方形ABCD的面积为a1 , 后继各正方形的面积依次为a2 , a3 , …, an , …, 则
a1=25.
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
ak+1= ak ,
因此, {an}是以25为首项，为公比的等比数列.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形
的面积之和；
解: 设正方形ABCD的面积为a1 , 后继各正
方形的面积依次为a2 , a3 , …, an , …, 则
a1=25.
由于ak+1= ak ,
因此, {an}是以25为首项，为公比的等比数列.
设{an}的前项和为Sn.
(1)S10= =50× [1-()10] =
所以，前10个正方形的面积之和为cm2.
例9 如图，正方形ABCD的边长为5cm,
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那
么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
解: {an}是a1=25，公比为的等比数列.
设{an}的前项和为Sn.
(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+…+an+…, 而
Sn= =50× [1-()n]
随着n的无限增大，()n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例10 去年某地产生的生活垃圾为20万吨, 其中14万吨垃圾以填埋方式处理, 6万吨垃圾以环保方式处理 . 预计每年生活垃圾的总量递增5% , 同时, 通过环保方式处理的垃圾总量每年递增1.5万吨 . 为了确定处理生活垃圾的预算 , 请写出从今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式 , 并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)？
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列,
而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列 . 因此 ,可以利
用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解: 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则
例10 去年某地产生的生活垃圾为20万吨, 其中14万吨垃圾以填埋方式处理, 6万吨垃圾以环保方式处理 . 预计每年生活垃圾的总量递增5% , 同时, 通过环保方式处理的垃圾总量每年递增1.5万吨 . 为了确定处理生活垃圾的预算 , 请写出从今年起 n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式 , 并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)？
解: 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则
an=20(1+5%)n，
bn=6+1.5n，
Sn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)
=(a1+a2+…+an)-(b1+b1+…+bn)
=20(1.05+1.052+…+1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n)
解: 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则
an=20(1+5%)n，
bn=6+1.5n，
Sn=20(1.05+1.052+…+1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n)
当n=5时，S5≈63.5.
所以, 从今年起5年内, 通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例11 某牧场今年初牛的存栏
数为1200，预计以后每年存栏数
的增长率为8%，且在每年年底卖
出100头。设牧场从今年起每年年
初的计划存栏数依次为
c1，c2，c3，….
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1).
例11 某牧场今年初牛的存栏数为1200, 预计以后每年存栏数的增长率为8%, 且在每年年底卖出100头. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 c1，c2，c3，….
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1).
分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.
例11 某牧场今年初牛的存栏数为1200, 预计以后每年存栏数的增长率为8%, 且在每年年底卖出100头. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 c1，c2，c3，….
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式；
解: (1)由题意, 得c1=1200, 并且 cn＋1＝1.08cn-100. ①
cn+1=rcn-rk+k ②
(2)将cn+1-k=r(cn-k)化为
比较①②的系数, 可得
解这个方程组, 得
所以(1)中的递推公式可以化为
cn+1-1250=1.08(cn-1250)
例11 (3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1).
cn+1-1250=1.08(cn-1250)
解: (3)由(2)可知{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+…+(c10-1250)
≈1250×10-724.3=11775.7≈11776.
所以 S10= c1+c2+c3+…+c10
归纳总结
(1)等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；
(3)数学思想方法的应用:
①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；
②分类讨论思想：由等比数列前 项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.
(q≠1).
na1 (q=1) .
Sn=
(2)等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
(4)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第四步　写出数列{an}通项公式.
第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步 由待定系数法，解得t= ; 递推公式an＋1＋t
＝p(an＋t)可化为
第三步 写出等比数列{an+ }的通项公式 ;
an＋1＋＝p(an＋)；