数学人教版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念（共34张ppt）

(共34张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” ，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
请看下面几个问题中的数列.
2.《庄子·天下》中提到:“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
④
9, 92 , 93 ， … ，910； ①
100, 1002, 1003，…，10010； ②
5 , 52 , 53 ， … ，510. ③
3.在营养和生存空间没有限制的情况
下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一
代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，
各次分裂产生的后代个数依次是
2 ，4，8，16，32，64，…. ⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
如果用{an}表示数列①，那么有
这表明，数列①有这样的取值规律：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
其余几个数列也有这样的取值规律吗，请你写出相应的规律.
思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
符号语言:
二、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
注: (1)从第二项起每一项与它的前一项之比为常数q;
(2)任意一项an≠0且q ≠ 0;
(3)q=1时，{an}为非零常数列.
二、等比中项
与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时
所以 G 2 = ab.
反之，若G 2=ab(ab>0)，
∴a, G, b成等比数列.
即a , G , b成等比数列
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)若数列{an}满足an+1=2an (n∈N*)，那么{an}是等比数列.( )
不一定.当a1=0时，按所给递推关系式，该数列的各项都为0，此时{an}不是等比数列.
(3)任意两个非零常数a，b都有等比中项.( )
当ab<0时， a，b没有等比中项.
×
×
(2)常数列b，b，b一定为等比数列.()
当b=0时，不是等比数列.
(4) G2=ab是a ，G ，b成等比数列的充要条件.( )
当G=a=b=0时，满足G2=ab，此时a ，G ，b不是等比数列.
×
×
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.
设一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，可得
an+1=an q
所以 a2=a1q
a3=a2q=a1q2，
a4=a3q=a1q3，
an=a1qn-1(n≥2).

an=a1qn-1 （n∈N﹡, q≠0）
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}通项公式为
探究! 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
三、等比数列的通项公式
an=a1qn-1 （n∈N﹡, q≠0）
首项为a1，公比为q的等比
数列{an}通项公式为
类似于等差数列与一次函数的关系，由an=a1qn-1得an= qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)= qx (x∈R)当x=n时的函数值，即an=f (n).
f (x)= qx (x∈R)
类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.
01 q=1
指数函数y=qx 的单调性 单调递减 单调递增
等比数列an=qn的单调性 单调递减 单调递增 不变
等比数列an=a1qn-1 的单调性 a1>0
单调递减 单调递增 不变
a1<0
单调递增 单调递减 不变
反之，任给指数函数f(x)=kax
( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且a≠1 ), 则
f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…
构成一个等比数列{kan}，其首项
为ka，公比为a．
公比 q>0, 且q≠1的等比数列{an}的图像有什么特点
是函数f (x)= qx (x∈R)图像上一些孤立的点函数值.
解：设等比数列的公比为q，由a4=48, a6=12，得
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项.
分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解．
②的两边分别除以①的两边，得
解得q=或q= -.
把q=代入①，得a1=384．
此时, a5=a1q4=384×()4=24.
解：设等比数列的公比为q，由a4=48, a6=12，得
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项.
解得q=或q= -.
把q=代入①，得a1=384．
此时, a5=24.
把q= - 代入①，得a1= -384．
此时, a5=a1q4= -384×(-)4= -24.
因此， {an}的第5项是 24 或-24．
解法2：因为a5是a4 , a6的等比中项，所以
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12 , 求{an}的第5项.
因此， {an}的第5项是 24 或-24．
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项
am表示an .
解：由题意，得
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项
am表示an .
解：由题意，得
②的两边分别除以①的两边，得
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成
等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列．
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成
等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列．
等差数列 等比数列
定义 an - an-1=d
公差与公比 d可以是0
等差中项与 等比中项 2A=a+b
通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d
q不可以是0
G 2=ab
an=a1qn-1
an=amqn-m
四、归纳小结
4.3.1 等比数列的概念2
等差数列 等比数列
定义 an - an-1=d
公差与公比 d可以是0
等差中项与 等比中项 2A=a+b
通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d
q不可以是0
G 2=ab
an=a1qn-1
an=amqn-m
复习回顾
例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息. 所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r), a(1+r)2, …构成等比数列.
例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
解: (1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an} ，则{an}是等比数列，
首项a1=104(1+0.400%)，公比q=1+0.400%，
所以a12=a1q11= 104(1+0.400%)12=10490.7.
所以，12个月后的利息为10490.7-104≈491(元).
例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息, 存4个季度, 则当每季度利率为多少时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？
解: (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，
首项b1=104(1+r)，公比为1+r，
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
于是b4=104(1+r)4.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
[104(1+r)4-104]元.
解不等式104(1+r)4-104≥491，得r ≥1.206%.
例5 已知数列{an}的首项a1=3.
(1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列；
证明: (1)由已a1=3， d=2，得{ an }的通项公式为
an =2n+1.
又b1==33=27,
所以，数列{}是以27为首项，9为公比的等比数列.
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.
例5 已知数列{an}的首项a1=3.
(2)若{an}等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列.
证明: (2)由已a1=3， q=，得
又 log3a1 =log33=1,
两边取以3为底的对数，得
log3an=log3 33-2n =3-2n
log3an+1 - log3an=[3-2(n+1)] – (3-2n)= -2
所以，数列{log3an}是首项为1，公差为-2的等差数列.
思考 已知b>0且b≠1, 如果数列{an}是等差数列,那么数列{}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？
所以, 数列{}是以为首项, bd为公比的等比数列.
证明：设等差数列{an}的首项为a1, 公差为d，则
所以, 数列{logban}是以logba1为首项，logbq为公差的等差数列.
证明：设等比数列{an}的首项为a1, 公比为q，则
例6 某工厂去年12月试产1050个高新
电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月
开始，工厂在接下来的两年中将生产这款
产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率
生产，以后每月的产量都在前一个月的基
础上提高5%, 产品合格率比前一个月增加
0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格
品的数量能否控制在100个以内？
分析: 设从今年1月起, 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}, 则各月不合格品的数量构成数列{anbn}, 由题意可知 , 数列{an}是等比数列 , 数列{bn}是等差数列, 由于数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}.
由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n)
=1.05n× (104-4n).
anbn=1.05n× (104-4n)
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
anbn=1.05n× (104-4n)
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.
又 a13b13≈98<100.
所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
例7 等比数列{an}中, 已知m+n=s+t(m, n, s, t∈N*), 则aman=asat .
证明：设等比数列{an}的公比为q，则
am=a1qm-1，an=a1qn-1,
as=a1qs-1，at=a1qt-1,
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
asat=(a1qs-1) (a1qt-1) = a12qs+t-2,
因为m+n=s+t(m, n, s, t∈N*), 所以aman=asat .
练习 (1)已知等比数列{an}中, a5+a7=8, 则a4(a6+2a8)+a3a11
的值为(　)
A.128 B.64 C.16 D.8
解:由等比数列的性质可得, a4(a6+2a8)+a3a11
=a4a6+2a4a8+a3a11=a52+2a5a7 +a72=(a5+a7)2=64.故选B.
(2)已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 =_______.
解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6，
∴ a5a6=a4a7=3，
则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1 a2 a3 … a10)
=log3 (a5a6)5 =log335=5 .
例8 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点.
证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则
an bn=a1 pn-1 b1qn-1,
∵pq是一个与n无关的常数,
思考：数列{}是不是也是等比数列呢？
∴an+1 bn+1 =a1 pn b1qn,
∴{anbn}是以 pq为公比的等比数列.
若{an}，{bn}是等比数列，则数列{}是等比数列.
等差数列 等比数列
定义
通项公式
中项
性质
an+1-an=d
an = a1 +(n-1)d
等差数列与等比数列的类比
若m+n=p+q , 则 am· an=ap· aq
若m+n=p+q , 则 am+an=ap+aq