北师大版 八年级上册数学 2.3 立方根 教案

立方根
一、目标分析
根据新课程标准，结合学生心理发展的要求，以及人格、情感、价值观的具体要求制定如下目标。这能对激发学生学好数学概念，养成数学习惯，感受数学思想，提高数学能力起到积极的作用。
1、知识技能目标
1.了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根。
2.会用立方运算求一个数的立方根。
3.会区分平方根与立方根。
2、过程性目标
通过思考和计算，培养学生的观察能力和运算能力，同时适当地增加学生合作学习交流的机会，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。使学生深切感悟分类讨论、转化、一般到特殊的数学思想。
3、情感与价值观目标
培养学生乐于思考、勤于动手、积极参与的思想品格，丰富他们的数学计算体验，激发他们的学习兴趣，激发他们自主探索、猜想的内在发展潜力
二、重点：了解立方根的概念，会求一个数的立方根。
三、难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根。
四、学情分析：
1、有利因素
学生刚刚学方根，已经掌握了研究根式运算的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
2、不利因素
本节课内容比较多，灵活性大，对学生思维的灵活性和反应能力有一定的要求，学生学习起来还是有一定的难度
五、教学过程
（一）情景引入
传说很久很久以前，古希腊的某个地方发生了大旱，于是大家一起到神庙里祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，体积才1立方米。你们如果做一个体积是原来3倍的祭坛，我就给你们降水。”
大家觉得好办，于是很快做好了一个棱长是3米的新祭坛，可是神却更加恼怒了：“你们竟敢愚弄我，这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的5倍，我要进一步惩罚你们！”
（1）新做好的新祭坛体积是原祭坛体积的多少倍？
（2）要使体积是原来的3倍，棱长应为多少？
解：(1) 27倍
（2）若设棱长为x,可以得到x3=3
温故：平方根：如果一个 数x 的平方等于a，即 x2= a ，
那么这个数x 就叫做a的平方根（也叫做二次方根）
知新：试一试，类比平方根定义，你能给出立方根定义吗？
（二）讲授新课
一、立方根：
如果一个数x的立方等于a ，即 x3= a, 那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）
如：23=8，2是8的立方根
（-3）3=-27，-3是-27的立方根
03=0，0是0的立方根，
问：是否有其他的数，它的立方也是8？- 27呢？ （没有）
【探究】： （1）正数有几个立方根？结果是正数还是负数？
（2）0呢？
（3）负数呢？
【总结归纳】二、立方根的性质：（唯一性、同号性）
（1）正数的立方根有一个，是正数；
（2）0的立方根有一个，是0；
（3）负数的立方根有一个，是负数。
任意一个数a都有唯一一个立方根，a的立方根记作
其中，3叫做根指数，不能省略，a叫被开方数。
典型例题：
例1 求下列各数的立方根:
(1) -27 (2) 8/ 125 (3) -64 (4) -5
解：（1）因为 （-3）3=-27 所以-27的立方根是-3,即
（2）因为 所以 的立方根是 ，即
（3）因为 （-4）3=-64 所以-64的立方根是-4,即
（4）-5的立方根是
例2 求下列各式的值
解：
三、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中 a 叫做被开方数
互考游戏：同桌一组活动：
一人说数字（不限制整数、分数、正数、负数）另一人说出这个数的立方根
四人小组讨论： 你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
四、夯实基础
练习1. 64 的立方根是 （A ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
练习2. 若一个数的立方根是 - 3 ，则这个数是（B ）
A. - 1 B. - 27 C. D. ±27
练习3. 下列说法中，正确的是 （ B ）
A. 的立方根是
B. - 5的立方根是
C. 0.01的立方根是 0.000001
D. 1 的立方根是 ±1
方法链接：立方与开立方互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
练习4. 一个数的平方是64，这个数的立方根是 （D ）
A、8 B、- 8 C、2 D、±2
练习5. 下列说法中，正确的是 （ D ）
A、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B、一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C、负数没有立方根
D、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数只可能是 -1、0、1
五、其它性质探究
1、知识初探
下列各组式子相等吗？
你发现了什么规律 用含字母a的式子表示
结论：互为相反数的两个数，它们立方根也互为相反数
方法链接：求立方根时，被开方数中的“—”号可以移到根号外
式子 始终成立吗？
结论：只有当a=0时 成立，
2、知识二探
计算下列各式
你发现了什么规律？用含字母a的式子表示
式子 始终成立吗？
结论：当a≧0时，
当a≧0时，没有意义
温馨提示：运用时要记得考虑前提条件哦！
3、知识三探
计算下列各式
你发现了什么规律？用含字母a的式子表示
式子 始终成立吗？
当a≧0时，
当a≧0时，
要分类讨论
4、知识四探
计算下列各式
观察四个式子，你能发现被开方数幂指数、根指数、结果幂指数三个数的关系吗？方法指导：
当被开方数是幂的形式 且指数是根指数的整倍数时， 结果中幂指数即为这个倍数（即可以约分）
趁热打铁
练习6. 下列式子正确的是 （ A ）
A、
B、
C、
D、
练习7. 下列式子正确的是 （ ）
A、
B、
C、
D
练习8. 10-6 的立方根是 （ A ）
A. 10-2 B. 10-3 C. 10-12 D. 10-18
六、解决问题：
传说很久很久以前，古希腊的某个地方发生了大旱，于是大家一起到神庙里祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，体积才1立方米。你们如果做一个体积是原来3倍的祭坛，我就给你们降水。”
大家觉得好办，于是很快做好了一个棱长是3米的新祭坛，可是神却更加恼怒了：“你们竟敢愚弄我，这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的3倍，我要进一步惩罚你们！”
（2）要使体积是原来的3倍，棱长应为多少？
解：
七、本节课你有哪些收获？
1.了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．
2.在学习中应注意以下5点：
（1） 符号中根指数“3”不能省略；
（2）正数、零、负数都有一个立方根；
3.立方与开立方互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
4 （1）平方根的性质
（非负数才有平方根）（任何数都有立方根）
.正数有两个平方根
. 0的平方根是0
.负数没有平方根
（2）立方根的性质
.正数的立方根是正数
. 0的立方根是0
.负数的立方根是负数
即：正数有两个平方根，但只有一个立方根，
负数没有平方根，但却有立方根；
5.灵活运用三个公式：
6.当被开方数是幂的形式且指数是根指数的整倍数时， 结果中幂指数即为这个倍数。（即可以约分）
八、布置作业
一、选择题
1．﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．﹣
2．若一个数的立方根是﹣3，则该数为（　　）
A． B．﹣27 C．± D．±27
3．有如下命题：
①负数没有立方根；
②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．
其中错误的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题
5．的立方根是______．
6．若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根为______．
7．一个正方体的体积为125cm3，则这个正方体的表面积为______cm2．
　
三、解答题
8．求下列各数的立方根
（1）729 （2）﹣4（3）﹣（4）（﹣5）3
9．求下列各式的值：
（1）（2）（）3．
10．求下列各式中的x．
（1）8x3+27=0；
（2）64（x+1）3=27．
11．已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个纸盒的棱长．
12．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求1﹣的值．
　答案
　一、选择题
1．A；2．B；3．B；4．C；
　
二、填空题
5．；6．4；7．150；
三、解答题
8．（1）　9 ；（2）- 5/3 ；（3）- 5/6；（4）-125
9．（1） -27；（2）64
10．（1）- 3/2 （2）- 1/4
11．7 cm 12．（1）成立；（2）-1