人教B版（2019）数学必修第三册 7_3_4正切函数的性质与图像课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
正切函数的性质与图像
高一必修第三册
1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．
2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.
本节目标
课前预习
(1)正切函数有哪些性质？
(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
C
周期为π
×
周期为π
×
在上递减
×
√
2．函数y＝tan的定义域为___________________．
≠ k
，k∈Z
≠
，k∈Z
{x| ≠ ，k∈Z }
3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
4．函数y＝tan 的单调增区间是_____________________．
，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
新知探究
正切函数的图像与性质
奇函数
(,0)，k∈Z
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　有关正切函数的定义域、值域问题
[例1]　(1) 函数y＝ 的值域是(　　)
A．(－1, 1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴ ≤－1；
当0＜x＜ 时，0＜tan x＜1，∴ ≥1.
即当x∈(－,0)∪(0, )时，函数y＝ 的值域是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．
B
(2) 函数y＝3tan()的定义域为_______________________．
要使函数有意义应满足≠ kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－ ，k∈Z，
所以函数的定义域为{x| x≠－4kπ－ ，k∈Z}.
{x| x≠－4kπ－ ，k∈Z}
(3)函数y＝ ＋lg(1－tan x)的定义域为_____________________________．
≥ 0
1－tan x>0
－1≤<1
在(－ )上满足上述不等式的x的取值范围是[－ ).
又因为y＝tan x的周期为π，
所以所求x的定义域为
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠ ＋kπ，k∈Z.
技法点拨
求正切函数定义域的方法
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
技法点拨
解形如tan x＞a的不等式的步骤
易错提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
跟踪训练
1．函数y＝ 的定义域是(　　)
A. {x|x = k , k∈Z} B. {x| k C. {x|x ≠ k , k∈Z} D. {x|x ≠ k , k∈Z}
B
>0
< 0
<
<
, k∈Z
2．求函数y＝tan2 ＋tan＋1的定义域和值域．
由3x＋≠ kπ＋，k∈Z，得x≠ ＋ (k∈Z)，
所以函数的定义域为{x| x≠ ＋ (k∈Z)}.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝ 2＋ ≥ ，
所以原函数的值域是[,+∞).
题型二　正切函数奇偶性、周期性和图像的对称性
[例2]　(1)函数f(x)＝tan 的周期为________．
(2)已知函数y＝tan ，则该函数图像的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4； ②y＝cos＋tan x.
[例2]　(1)函数f(x)＝tan 的周期为________．
∵tan ＝tan ，
即tan ＝tan ，
∴f(x)＝tan 的周期是.
法一：(定义法)
法二：(公式法)
f(x)＝tan 的周期T＝ .
[例2]　(2)已知函数y＝tan ，则该函数图像的对称中心坐标为_______________．
所以图像的对称中心坐标为(＋ ,0)，k∈Z.
由x－ ＝ (k∈Z)得x＝ ＋ (k∈Z)，
(＋ , 0)，k∈Z
②y＝cos＋tan x.
[例2]　(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，
定义域为{x|x≠ ＋ , k∈Z}，
关于原点对称，
所以它是偶函数．
定义域为{x|x≠＋ , k∈Z} ，
关于原点对称，
y＝cos()＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以它是奇函数．
(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝ .
方法总结
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，
若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋ ，k∈Z的对称中心坐标为(,0)，k∈Z.
方法总结
跟踪训练
(1) f(x)＝ ；
(2) f(x)＝tan ＋tan .
3．判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)＝ ；
3．判断下列函数的奇偶性
f(x)的定义域为{x|x≠＋ 且x≠＋ , k∈Z}，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
不关于原点对称，
由
x≠＋ , k∈Z
1
得
(2) f(x)＝tan ＋tan .
3．判断下列函数的奇偶性
函数定义域为{x|x≠且x≠＋ , k∈Z}，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan ＋tan
＝－tan －tan
＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
题型三　正切函数单调性的应用
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
提示：不是．正切函数的图像被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(kπ, kπ＋)(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝ π，x1[探究问题]
2．如果让你比较tan()与tan ()的大小，你应该怎样做？
提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
[探究问题]
[例3]　(1) tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________________________．
y＝tan x在区间(, )上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.
又＜2＜3＜4＜π＋1＜ ，
tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1
[例3]　 (2)求函数y＝3tan 的单调区间．
y＝3tan ＝－3tan ，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋ π＜x＜ ＋ π，k∈Z，
所以y＝3tan 的减区间为(－＋π，＋π)，k∈Z.
多维探究
变式1 求函数y＝3tan 的单调区间．
由kπ－< x－得2kπ－∴函数y＝3tan的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋ π)(k∈Z)．
变式2 求函数y＝lgtan的单调区间．
因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．
所以函数y＝lgtan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的递增区间，
即(kπ, ＋kπ)，k∈Z.
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋ ，k∈Z，解得x的范围即可．
方法总结
易错提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
方法总结
随堂检测
1．思考辨析
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)
(3)正切函数图像有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)
(4)正切函数是增函数．(　　)
×
√
×
×
2．若tan x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋ ≤x＜kπ＋ (k∈Z)
D
3．求函数y＝tan(π－x)，x∈(－, )的值域为__________．
所以值域为(－ ，1)．
y＝tan(π－x)＝－tan x，
在(－, )上为减函数，
(－ ，1)
4．求函数y＝tan 的定义域、最小正周期、单调区间及其图像的对称中心．
②T＝ ＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
①由≠kπ＋ ，k∈Z，得x≠2kπ＋ ，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x≠ 2kπ＋ ，k∈Z}.
④由＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数图像的对称中心是(kπ＋,0)，k∈Z.
③由kπ－＜ ＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为(2kπ－, 2kπ＋)， k∈Z.
1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图像，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
本课小结
2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？