人教B版（2019）数学必修第三册 8_2_1两角差的余弦课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
两角差的余弦公式
高一必修第三册
本节目标
1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程．
2.熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用.
课前预习
(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)
(2)两角差的余弦公式是如何推导的？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
B
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°
＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝
∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°
2．cos(－15°)的值是(　　)
A. B.
C. D.
D
cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ ×＋×
＝
3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.
cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°
＝cos(65°－20°)
＝cos 45°
＝
新知探究
x
y
O
A(1,0)
P
Q
M
P(cos, sin)
Q(cos, sin)
M(cos), sin)
根据两点间距离公式
cos(αβ)＝cosαcosβ + sinαsinβ
化简
两角差的余弦公式
cos αcos β＋sin αsin β
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　给角求值问题
[例1]　(1) cos 的值为(　　)
A. B.
C. D．－ 　
D
cos ＝cos(+ )＝－cos ＝－cos (－)
＝－cos cos －sin sin ＝－ × － × ＝－ 　
(2) 求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③ cos 15°＋ sin 15°.
(2) 求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)
＝cos 60°
＝
(2) 求下列各式的值：
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)
＝cos 30°
＝
(2) 求下列各式的值：
③ cos 15°＋ sin 15°
cos 15°＋ sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)
＝cos 45°
＝
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路
2．两角差的余弦公式的结构特点
反思感悟
跟踪训练
1．化简下列各式：
(1) cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
1．化简下列各式：
(1) cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45°
＝
1．化简下列各式：
(2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)
＝cos(－30°)
＝
题型二　给值(式)求值问题
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
[探究问题]
题型二　给值(式)求值问题
2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
[探究问题]
[例2]　(1)已知sin α－sin β＝1－ ，cos α－cos β＝ ，则cos(α－β)＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝(1－)2，　①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝()2，　②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋ ＋
所以－2cos(α－β)＝－
所以cos(α－β)＝ .
D
[例2]　 (2)已知sin ＝ ，α∈(, )，求cos α的值．
∵α∈(, ) ，∴ ＋α∈ (,) ，
∴cos ＝－ ＝－＝－ .
∵α＝ － ，
∴ cos α＝cos(－ )＝cos cos ＋sin sin
＝－× ＋ × ＝ .
多维探究
变式1 已知sin＝ ，且 <α < ，求cos α的值．
<α <
<α+ <
cos＝ － ＝ －
∴cos α＝cos[]
＝cos cos ＋sin sin
＝－× ＋ ×
＝
变式2 已知sin ＝ ，α∈(, )，求cos (α )的值．
∵ ＜α＜ ，∴－＜ －α＜ ，
又sin ＝－ ＜0，
∴－＜ －α＜0，cos ＝ ＝ ，
∴cos (α ) ＝cos () ＝cos[ ]
＝ cos ＋ sin
＝ × ＋ ×(－)＝－
2 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝ α－β ＋β； ② α＝ ＋
③2α＝ α＋β ＋ α－β ； ④2β＝ α＋β － α－β .
给值求值问题的解题策略
1 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
解题策略
题型三　给值求角问题
[例3]　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜ ，求角β的大小．
因为sin(π－α)＝ ，所以sin α＝ .
因为0＜α＜ ，所以cos α＝ ＝.
因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ，
所以sin(α－β)＝ ＝ ，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝ ×＋ × ＝.因为0＜β＜ ，所以β＝ .
1 界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
2 求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
3 结合三角函数值及角的范围求角.
已知三角函数值求角的解题步骤
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
归纳总结
跟踪训练
2．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝ × ＋ × ＝
∵α，β均为锐角
∴sin α＝，sin β＝
又sin α故α－β＝－.
随堂检测
1．思考辨析
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)
(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　)
×
×
√
√
当α＝－45°，β＝45°时成立
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝ ＝ ，
∵β为第三象限角，sin β＝－，∴cos β＝－ ＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝ ×(－)＋ ×(－)＝－.
A
3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝_____.
原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－60°)＝cos 60°
＝
4．已知sin α＝－，sin β＝ ，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
因为sin α＝－，180°＜α＜270°，所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°＜β＜180°，所以cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝(－)×(－)＋(－)×
＝－＝
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；
②确定角所在的范围(找一个单调区间)；
③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？