人教B版（2019）数学必修第三册 7_1_1角的推广课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
角的推广
高一必修第三册
1. 理解任意角的概念．
2．掌握终边相同角的含义及其表示．
3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．
本节目标
情景引入
自行车轮子按逆时针方向转一圈，转了360°；转两圈，转了多少度？三圈呢？
课前预习
(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？
(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？
(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
D
2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670°
50°－2×360°＝－670°
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240°
三
600°＝360°＋240°
新知探究
角可以看成平面内_________绕着端点从一个位置_________到另一个位置所形成的图形．
1．角的概念
一条射线
旋转
2．角的表示
如图，
(1)始边：射线的________位置OA，
(2)终边：射线的________位置OB，
(3)顶点：射线的________O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
起始
终止
端点
3．任意角的分类
按旋转方向分
逆时针
顺时针
没有
做任何
按角的终边位置分
①前提
角的顶点与_______重合，角的始边与______________重合．
②分类
原点
x轴的非负半轴
象限角
坐标轴
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°
O
A
B
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　角的有关概念的判断
[例1]　(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角、直角或锐角；
④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
√
－350°角是第一象限角
×
0°角不是钝角，也不是直角或锐角
×
360°角的始边与终边重合
×
①
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420° ②855° ③－510°
第一象限角
第二象限角
第三象限角
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
方法技巧
1．理解角的概念的关键与技巧
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
方法技巧
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
2．象限角的判定方法
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
注意
跟踪训练
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
D
2．给出下列四个命题：
①－75°是第四象限角；
②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
√
√
√
－90°＜－75°＜0°
180°＜225°＜270°
360°＋90°＜475°＜360°＋180°
－360°＜－315°＜－270°
D
题型二　终边相同的角的表示及应用
[例2]　(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是_________________．
－885°＝ －1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
(－3)×360°＋195°
(2)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，
与α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
方法总结
技法点拨
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
2．运用终边相同的角的注意点
易错提示：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
跟踪训练
3．下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
B
α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)
当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′
4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．
①790°；②－20°.
∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．
①
∵－20°＝－360°＋340°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．
②
题型三　任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
[探究问题]
[例3]　(1)若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
－是第二、四象限角
α是第一象限角
k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z
k·180°＜ ＜k·180°＋45°，k∈Z
是第一、三象限角
－与的终边关于x轴对称
D
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
多维探究
变式1 若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}
{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}
变式2 若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}
起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
1．表示区间角的三个步骤
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步
第一步
方法总结
方法总结
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
2．nα或所在象限的判断方法
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜ ＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜ ＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
注意：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
随堂检测
1．思考辨析
(1)第二象限角大于第一象限角．(　　)
(2)第二象限角是钝角．(　　)
(3)终边相同的角一定相等．(　　)
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
×
×
×
√
2．下列各个角中与2019°终边相同的是(　　)
A．－149° B．679°
C．319° D．219°
2 019°＝360°×5＋219°
D
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是______________________________________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
与－120°终边相同的角的集合为
M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(1)－120°；
(2)640°.
与640°终边相同的角的集合为
M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
3．理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求符合某种条件的角．
本课小结
1．角的旋转定义给出后，就将原来0°～360°间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础．
2．明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证．
通过本节课，你学会了什么？