(共17张PPT)
（1）本专题是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续；
（2）空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)；
（3）进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。
内容
空间向量及其运算
空间向量及其线性运算 / 共面向量定理；
空间向量基本定理 / 空间向量的坐标表示；
空间向量的数量积。
空间向量的应用
直线的方向向量与平面的法向量；
空间线面关系的判定 / 空间角的计算。
结构
平面向量及其运算
空间向量及其运算
向量的线性运算
向量的数量积
空间向量的应用
空间线、面的位置关系
空间的角和距离的度量
立体几何初步——横向：空间线线关系、线面关系、面面关系；
空间向量与立体几何——纵向：直线的方向向量与平面的法向量、线面关系的判定、空间角的计算．
先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从位置关系的判定、空间角的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用．
（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；
（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。
重点、难点
思想方法
重点——利用向量解决立体几何问题；
难点——法向量方向的确定。
空间向量及其运算
对比：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
教材对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受．
关于共面向量的定义——能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
空间向量及其运算
关于共面向量定理——如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使得p = xa + yb．
空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的．这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示．
空间向量及其运算
关于空间向量基本定理——如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序数组(x, y, z)，使p = xe1 + ye2 + ze3．
线索：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。
通过向量分解惟一性定理的推广，引导学生积极主动地探索．
价值：为空间向量的坐标表示做准备．
注意：“惟一性”的证明要用反证法(了解)．
空间向量及其运算
关于空间向量的数量积——
1．由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同。
2．要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉。
3．空间向量数量积的几何意义只要求学生了解。
4．空间向量数量积运算律的证明不作要求。
空间向量的应用
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？
直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与垂直关系．
平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关系．
空间向量的应用
空间线面关系的判定
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系：
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与 1 e1⊥n1 e1∥n1
1与 2 n1∥n2 n1⊥n2
其中e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别为平面 1， 2的法向量。
空间向量的应用
空间线面关系的判定
三垂线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理。
空间向量的应用
空间角的计算
1．线线角
设e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2 所成的角为 ，则 。
2．线面角
设e为直线l的方向向量，n为平面 的法向量，l与平面 所成的角为 ，则
空间向量的应用
空间角的计算
3．二面角
设n1，n2分别为平面 1， 2的法向量，平面 1， 2 所成的二面角为 ，则
注意：二面角也可以通过线线角来计算（根据二面角的定义）。
空间距离的计算
距离计算(共25张PPT)
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
< >=π—θ（或θ），
a
b
C
D
A
B
CD为a,b的公垂线
则
A，B分别在直线a,b上
已知a,b是异面直线，n为a的法向量
异面直线间的距离
即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，
z
x
y
A
B
C
C1
即
取x=1,则y=-1,z=1,所以
E
A1
B1
x
y
z
A
B
C
D
E
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？
（3）当MN的长最小时，
求面MNA与面MNB所成
二面角的余弦值。
A
B
C
D
E
F
M
N
4、如图6，在棱长为 的正方体 中，
分别是棱AB,BC上的动点，且 。
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
O’
C’
B’
A’
O
A
B
C
E
F
图6
5、如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 的长为b ,且
求（1） 的长；
（2）直线 与AC夹角的余弦值。
A
B
C
D
6、如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，
E是PB的中点， 。
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面内求一点F，使EF 平面PCB。
A
B
C
D
P
E(共33张PPT)
章 末 专 题 整 合
知识体系构建
专题归纳整合
专题一 空间向量的概念及运算
1．空间向量的线性运算包括：加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
例1
专题二 空间向量与空间位置关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2
如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
专题三 空间向量与空间角
利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解．
(1)若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|.
(3)二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，根据情况确定．
例3
【答案】 A
例4
(2011·高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A BF C的大小．
专题四 利用空间向量解决存在性问题
存在性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
(2012·高考福建卷节选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
例5
专题五 数学思想
转化与化归思想既是一种数学思想，又是一种数学方法．
在立体几何中，体现转化与化归思想的问题有：
(1)把立体几何问题转化为向量问题，通过空间向量的运算求出立体几何的问题；
(2)立体几何问题之间的转化，例如①空间图形问题转化为平面几何问题；②线面角、二面角转化为平面角；③空间各种距离之间的相互转化等都体现了转化与化归的思想．
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1BD；
(2)求二面角A－A1D－B的余弦值．
例6
随堂检测
章末综合检测
本部分内容讲解结束
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空间向量在立体几何中的应用
课件制作:
顺德区容山中学
徐志刚
空间向量在
立几中应用
考试要求:
根据2004年最新全国高考考试说明,高考对空间向量作如下要求:
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质。掌握用直角坐标系计算空间向量数量积的公式。掌握空间两点间距离公式。
2.了解空间向量的基本定理。理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。
4.理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念。
空间向量在
立几中应用
高考的命题趋势分析：
纵观近几年高考试题，立体几何的解答题都保持一道，而且是以正三棱柱、正四棱柱、直三棱柱等柱体为背景的既可用传统方法，又能用向量方法解题的题型，所以应特别注意。空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直及它们之间的距离、夹角紧密相连，是高考的重点和热点。在把握传统方法的基础上，要有意识的甚至创造性地运用向量解决立体几何问题。
空间向量在
立几中应用
学法指导：
立体几何是在高一学面向量的基础上，引入“空间向量及其运算，空间向量的坐标运算”这一部分内容的。用向量法和坐标法解决立体几何问题，为立体几何问题的解决建立了新的角度，是新教材的倡导重点。03、04年数学高考的新课程卷对教学大纲规定的新增内容的考察力度，无论是知识的覆盖、所占分值的比例，还是试题的综合性、灵活性和应用性都比以前几年有所增强。其中特别强调的是向量、导数、概率。向量的知识体系可以从向量法和坐标法体现出来。同学们应从整体上加深理解。值得提醒的是：虽然我们今天专题讨论的是空间向量的应用，但向量与平面三角、平面几何、立体几何、解析几何的知识和方法相互联系和转化，处于知识网络的交汇点，是设计试题的良好素材，故整个向量知识都应引起同学们的重视
空间向量在
立几中应用
知识框图：
利用向量求角
两条异面直线所成的角
直线与平面所成的角
二面角
利用向量求距离
点到直线的距离
点到平面的距离
直线到平面的距离
平行平面间的距离
异面直线间的距离
利用向量证平行
利用向量证垂直
两条直线垂直
直线与平面垂直
二个平面垂直
两条直线平行
直线与平面平行
二个平面平行
空间向量在
立几中应用
方法指导：
1.怎样利用向量求角？求角一般用向量的夹角公式。
异面直线所成的角是：两条直线上的方向向量的夹角或它们的补角。取其中的锐角或直角（即它们夹角的余弦值为非负）
直线与平面所成的角可以转化为直线和直线在平面内的射影所成的角（即直线方向向量与平面法向量所成的锐角的余角）
二面角可以转化为在两个半平面内起点分别在棱上的两个向量的夹角，或运用两个平面的定向法向量求得。
空间向量在
立几中应用
方法指导：
2.怎样利用向量求距离？
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。
点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。
异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。
空间向量在
立几中应用
方法指导：
3.怎样利用向量证平行？
运用共线向量基本定理可证线线平行；
利用共面向量基本定理可证线面平行；
面面平行可转化为证明线面平行或线线平行。
4.怎样利用向量证明垂直？
利用两条直线的方向向量的数量积为零证线线垂直；
线面垂直可以转化为证明线线垂直；
面面垂直可用判定定理，也可求两个平面的二面角是直角。
空间向量在
立几中应用
应用举例：
1.已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，
E、F分别为AB、BC的中点。
求证：PE AF；
求点D到平面PEF的距离；
求直线AC到平面PEF的距离；
求直线PA与EF的距离；
求直线PA与EF所成的角；
求PA与平面PEF所成的角；
求二面角A-PE-F的大小。
A
B
C
D
E
F
P
x
y
z
空间向量在
立几中应用
应用举例：
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
２．已知在６０°的二面角 的棱上有两点Ａ、Ｂ，
线段ＡＣ、ＢＤ分别在平面 、 内，且ＡＣ ＡＢ，ＢＤ
ＡＢ，ＡＢ＝４，ＡＣ＝６，ＢＤ＝８。
求ＣＤ的长；
求异面直线ＣＤ与ＡＢ所成的角；
求ＣＤ与平面 所成的角；
如果ＣＤ＝ ，求二面角 的大小。
空间向量在
立几中应用
作业与练习：
１．（２００４年北京春季高考第１７题）如图，四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ的底面是边长为１的正方形，ＳＤ 底面ＡＢＣＤ．ＳＢ＝ ．
（Ⅰ）求证：ＢＣ ＳＣ；
（Ⅱ）求平面ＡＳＤ和平面ＢＳＣ的二面角的大小；
（Ⅲ）设棱ＳＡ的中点Ｍ，求异面直线ＤＭ与ＳＢ所成的角的
大小．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｓ
Ｍ
空间向量在
立几中应用
作业与练习：
２．（２００４年汕头高考模拟试题第１９题）在三角形ＡＢＣ
中， Ｃ＝６０°，ＣＤ为 Ｃ的平分线，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２
过Ｂ作ＢＮ ＣＤ于Ｎ，延长ＢＮ交ＣＡ于Ｅ，作ＡＭ ＣＤ，
交ＣＤ的延长线于Ｍ，将图形沿ＣＤ折起，使 ＢＮＥ＝１２０°
求：
（Ⅰ）折起后ＡＭ与ＢＣ所成的角；
（Ⅱ）折起后所得的线段ＡＢ的长度．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｎ
Ｍ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｎ
Ｍ
Ｅ
空间向量在
立几中应用
作业与练习：
3.如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， , 侧棱 ，D、E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
(1)求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
(2)求 点到平面AED的距离
(2003年全国高考理科试题第18题)
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
G
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
