线线垂直.线面垂直.面面垂直证明6类通关题
1．在三棱锥中，如图，，，，．
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明平面得到，再证明平面得到证明.
【详解】（1），，，故平面，平面，
故，又，，故平面，
平面，故.
2．如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直即可得线线垂直，
【详解】（1）在菱形中，因为为的中点，，所以，
在翻折过程中，恒有，，
又，平面，所以平面，
而平面，所以.
3．如图，在三棱柱中，，.
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）设O为的中点，连接，先证明平面,根据线面垂直的性质及可证明结论；
【详解】（1）证明：设O为的中点，连接 ,
因为，，
则为正三角形，故 ,
平面,故平面,平面,
所以；
4．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面．
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）证明平面后得证线线垂直；
【详解】（1）平面，平面，则，同理，，，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以；
5．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，M、N分别为的中点．
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）先证线面垂直，然后可证明线线垂直.
【详解】（1）证明：
取AC得中点O，连接SO，OB
，
，
又SO，BO交于点O，平面，平面
于是可知平面，又平面
6．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点．
(1)求证：；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）利用面面垂直的性质及判定定理即可；
【详解】（1）因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以,
又平面平面ABC,
且平面平面ABC,平面ABC,
所以平面,平面,
所以.
7．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，．
(1)求证：平面PAC；
【答案】(1)证明过程见详解
【分析】(1)要证平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线即可；
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
又.
所以，所以，即.
又.PA，AC均在面PAC内，所以平面
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，E为线段AD的中点，，，，BC⊥平面PBE．
(1)证明：PE⊥平面ABCD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明来证得平面；
【详解】（1）因为BC⊥平面PBE，PE平面PBE，
所以BC⊥PE，
在△PBE中，由正弦定理得，
又，，，
所以，又∠PEB为△PBE的内角，
所以，即，
又，BE、BC平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
9．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E是的中点．
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）首先根据题意得到是等边三角形，根据勾股定理得到，，再根据线面垂直的判定即可证明平面；根据三角形中位线即可得到，再根据线面平行的判定即可证明平面；
【详解】（1）在菱形中，，，
∴是等边三角形，
又，故菱形边长为，
在中，，则，
同理，
又面，，
∴平面，
连结交于，连接.
在菱形中，为中点，又是线段的中点，
所以，
∵面，面，
∴面；
10．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由已知，根据条件，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，通过所以，得到，，然后使用线面垂直的判定定理即可完成证明；
【详解】（1）
由已知，直三棱柱中，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，以，，为轴的正方形，
因为，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M，
所以,,,,,,,,
所以，,,
所以，所以，
，所以，
而，且平面，
所以平面.
11．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDF；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明，
【详解】（1）由题意得，平面平面，
而平面平面，平面，
平面，而平面，
，
，，则四边形为正方形，，
，平面，平面，
平面．
12．已知三棱柱中，底面边长和侧棱长均为a，侧面底面，．
(1)求证：面．
【答案】(1) 证明见解析.
【分析】（1）证明，，由线面垂直判定定理证明结论.
【详解】（1）由已知四边形为菱形，所以，
又，，平面，
所以平面.
13．如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱的中点，．
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线线垂直，证明线面垂直，进而证明面面垂直.
【详解】（1）
正四棱柱中，则必有平面，平面，则，四边形为正方形，E，F分别为棱的中点，连接，则，，又，平面，又平面，则平面平面.
14．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）由平面ABCD得，由底面ABCD为菱形得，由直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；
【详解】（1）平面，，
底面为菱形，，
又，平面，
而平面，平面平面；
15．如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），.
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先由垂直底面得到，又因为，则由线面垂直的判定定理得到平面，而面，最终证明面面；
【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面，
因为平面，所以.
又，，，平面，
所以平面.
又因为面，
所以面面.
16．如图，在四棱锥 中，平面与底面 所成角为 ，四边形是梯形，，， ．
(1)证明：平面平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；
【详解】（1）证明：由平面，平面，平面，
得，， 与底面所成角为 ．
所以三角形 为等腰直角三角形， ．
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，
可知 ．
所以 ，在等腰直角三角形 中，．
则有，所以．
又因为，，平面 ，平面．
所以平面．因为平面 ，所以平面平面．
．
17．如图，四面体中，，E为 的中点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
【答案】(1)证明见解析.
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）因为， ,
所以 ，所以 ，
又因为E是中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，平面,
所以平面，又因为平面 ，
所以平面⊥平面.
18．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，线段的中点为，点为上的点，且.
(1)求证:平面平面；
【答案】(1)见解析；
【分析】(1)由，为线段的中点，可得，又因为平面，可得，即可得平面，进而可得平面平面；
【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，
所以,
所以,
又因为,
所以,
即,
所以①,
又因为平面，
平面，
平面，
所以,
又因为,
所以平面，
又因为平面，
所以②,
又因为③,
由①②③可得平面，
又因为平面，
所以平面平面；
19．如图1，在中，，分别为棱的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明平面，即可证明平面平面；
【详解】（1）因为中，，别为棱的中点，
所以，即，
又因为，即，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
20．如图1，在直角梯形中，，，，E是AB的中点. 沿DE将折起，使得，如图2所示. 在图2中，M是AB的中点，点N在线段BC上运动（与点B，C不重合）．在图2中解答下列问题：
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明平面，平面得到平面，得到证明.
【详解】（1）中，，时中点，故，
，，，故平面，
平面，故，又，，
故平面，平面，故，，
故平面，平面，故平面平面.
试卷第12页，共13页线线垂直.线面垂直.面面垂直证明6类通关题
一.线线垂直
1．在三棱锥中，如图，，，，．
(1)证明：；
2．如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.
(1)证明：；
3．如图，在三棱柱中，，.
(1)证明：；
4．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面．
(1)求证：；
二.面面垂直条件下证明线线垂直
5．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，M、N分别为的中点．
(1)证明：；
6．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点．
(1)求证：；
三.线面垂直
7．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，．
(1)求证：平面PAC；
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，E为线段AD的中点，，，，BC⊥平面PBE．
(1)证明：平面ABCD；
9．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E是的中点．
(1)证明：平面
10．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．
(1)求证：平面；
四.面面垂直条件下证明线面垂直
11．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDF；
12．已知三棱柱中，底面边长和侧棱长均为a，侧面底面，．
(1)求证：面．
五.证明面面垂直
13．如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱的中点，．
(1)求证：平面平面；
14．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：平面PAC平面PBD；
15．如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），.
(1)证明：平面平面；
16．如图，在四棱锥 中，平面与底面 所成角为 ，四边形是梯形，，， ．
(1)证明：平面平面 ；
17．如图，四面体中，，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
18．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，线段的中点为，点为上的点，且.
(1)求证:平面平面；
六.折叠条件下证明面面垂直
19．如图1，在中，，分别为棱的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.
(1)求证：平面平面；
20．如图1，在直角梯形中，，，，E是AB的中点. 沿DE将折起，使得，如图2所示. 在图2中，M是AB的中点，点N在线段BC上运动（与点B，C不重合）．在图2中解答下列问题：
(1)证明：平面平面；
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