双曲线多选题4类小全
1．若P是双曲线上一点，C的一个焦点为F，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．离心率为 B．的最小值是3
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是2
【答案】ACD
【分析】对于A，将双曲线方程化为标准方程，易得，从而可求离心率；
对于B，利用双曲线方程及两点距离公式，将问题转化为二次函数的最值，从而得解；
对于C，利用双曲线的几何性质易得的最小值；
对于D，利用点线距离公式即可求得焦点到渐近线的距离.
【详解】对于A，由双曲线得，则，故，即，故双曲线离心率为，故A正确；
对于B，设，则或，则，即，
所以，
故当时，，故，故B错误；
对于C，易知，故C正确；
对于D，由选项A知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
2．已知双曲线的右焦点为，左 右顶点分别为，则（ ）
A．过点与只有一个公共点的直线有2条
B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
【答案】BCD
【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；
对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；
对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；
对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.
【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，
解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；
对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；
对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．
故选:BCD．
3．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．内切圆的半径为
C．
D．点到轴的距离为
【答案】ABD
【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.
【详解】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；
因为，，，所以，，解得，故，C错误；
内切圆的半径为， B正确；
设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.
故选：ABD．
4．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为:
C．双曲线的离心率为
D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】由题意可得，解得：，所以双曲线，再对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，
所以中的①，故A不正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以，所以②，
由①②可得：，
所以双曲线的渐近线方程为，故B正确；
所以双曲线的，
对于C，双曲线的的离心率为，故C正确；
对于D，双曲线上的点到焦点距离的最小值为.
故选：BCD.
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为
C．为定值 D．存在点，使得
【答案】BC
【分析】求出的值，可判断A选项；求出、的值，可判断B选项；设点，则，可得，利用斜率公式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，则，
所以，双曲线的渐近线方程为，A错；
对于B选项，由题意可得，可得，，，
所以，双曲线的方程为，B对；
对于C选项，设点，则，可得，
易知点、，所以，，C对；
对于D选项，由题意可知，，则，，且，
所以，，D错.
故选：BC.
6．已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A．若，的斜率分别为，，则
B．
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】先求出双曲线的渐近线方程：，设点，，利用点线距离公式求出，，再利用直线之间的关系求出直线，的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及为定值可判断C正确，由余弦定理可得的最小值，判断D正确．
【详解】如图所示，
设，，则．由题设条件知：
双曲线的两渐近线：，．
设直线，的斜率分别为，，则，，所以，
故选项正确；
由点线距离公式知：，，
，故B错误；
，所以C错误；
由四边形中，所以，
，
当且仅当时等号成立，所以D正确，
故选：AD．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为 D．点到两渐近线的距离乘积为
【答案】BD
【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，，，该双曲线的离心率为，A错；
对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，若，则，
所以，，可得，
故，C错；
对于D选项，设点，则，
双曲线的两渐近线方程分别为、，
所以，点到两渐近线的距离乘积为，D对.
故选：BD.
8．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（ ）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
【答案】BC
【分析】求出双曲线和椭圆的焦点即可判断A；求出双曲线的离心率和渐近线可判断B；分别求，两点位于双曲线的异支和同支时，弦长的最小值可判断C；根据的最小值可知直线有多少条，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由知双曲线的焦点在轴上，由知椭圆的焦点在轴上，所以焦点不相同，故选项A不正确；
对于B：由双曲线可得，，所以，
所以双曲线的离心率为，渐进线方程为，即，
故选项B正确；
对于C：当，两点位于双曲线的异支时，直线的斜率为时最小，此时，两点分别为双曲线的左右顶点，此时，
当，两点位于双曲线的同支时，直线的斜率不存在时最小，直线的方程为代入可得，所以，所以的最小值为1，故选项C正确；
对于D：由选项C知，当，两点位于双曲线的异支时，，此时只有一条，
当，两点位于双曲线的同支时，，根据对称性可知，此时存在两条直线使得，所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确；
故选：BC.
9．如图所示的“花生壳”形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线左、右顶点为A，B，，记双曲线的左、右焦点为、，则下列选项正确的是（ ）
A．双曲线部分的方程为：.
B．焦点到曲线上任一点的距离最大值为.
C．曲线围成的图形面积不超过40.
D．曲线上存在4个P点使得为直角.
【答案】AD
【分析】A选项，求出双曲线的左、右顶点坐标为，设出双曲线部分的方程，代入点，求出双曲线部分的方程；
B选项，连接并延长，交上半圆于点P，由几何性质得到焦点到曲线上任一点的距离最大值为的长，求出的长即可；
C选项，作出辅助线，求出两个半圆的面积，四个三角形的面积，得到曲线围成的图形面积；
D选项，设出，求出点的轨迹方程为，联立双曲线部分的方程，求出四个交点，结合与上下半圆均无交点，从而得到答案.
【详解】上半个圆所在圆方程是，圆心为，半径为，
由对称性可知：下半个圆所在圆的圆心为，半径为，
因为，所以双曲线的左、右顶点坐标为，
设双曲线部分的方程为，其中，
设上半圆与双曲线在第一象限的交点为C，则，
将其代入中，，解得：，
故双曲线部分的方程为，A正确；
因为，
故双曲线的左、右焦点为，
连接并延长，交上半圆于点P，
则焦点到曲线上任一点的距离最大值为的长，
其中，
故焦点到曲线上任一点的距离最大值为，B错误；
连接CE，DF，过点A作轴的垂线，交DF于S，交EC于点T，过点B作GH⊥x轴，交EC于点G，交DF于点H，
因为，所以直线EC方程为，将代入，则，
则，，
又两半圆的面积之和为，
设曲线围成的图形面积为，则，C错误；
则设，因为，
若是直角，则有，
联立与，解得：，
所以，
故有四个点，坐标分别为，
由于，所以与上下半圆均无交点，
故曲线上存在4个P点使得为直角，D正确；
故选：AD
10．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左右顶点为，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3
【答案】ABD
【分析】由题意可得，代入双曲线方程可求出，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断
【详解】由题意可得，
所以，即，解得，
所以双曲线方程为，所以A正确，
双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确，
由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误，
由题意得，设为双曲线上任意一点，则，，
所以，
所以双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3，所以D正确，
故选：ABD
11．设，是双曲线：的左 右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为
D．点在直线上
【答案】ABD
【分析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求出的长度，再利用两点间的距离公式可求出的长度，从而可得的长度，再在三角形中，利用余弦定理得到的关系，进而求出离心率，从而求出渐近线的斜率，设出点的坐标，由点在渐近线上以及，可求出点的横坐标，进而结合选项分析即可.
【详解】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，，
以该渐近线为例，由作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：，故A正确，
又，则，，
则在三角形中，根据余弦定理：，
得，则离心率，故B正确；
又，解得，∴渐近线方程为，故C错误；
设，则，又，解得，即点在直线上，故D正确.
故选：ABD.
12．已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为 D．O为坐标原点，则
【答案】BCD
【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点F的直线与直线平行，交于C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，
过点F与直线平行的直线的方程为，与联立，解得
，由，设，所以，
可得，依题：
，得，故渐近线方程为，A错误；
对于B：由可得，B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，C正确
对于D：
故，
故，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：求出两点坐标是解题的关键.
13．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（ ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．
C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为
D．若，则直线的斜率为
【答案】AD
【分析】根据双曲线的定义求解判断A，由由双曲线的性质求解判断B，利用勾股定理求得判断C，结合双曲线的定义，余弦定理求得直线倾斜角的正切值，再利用对称性得直线斜率判断D．
【详解】由双曲线定义知，A正确；
由双曲线的性质（为右顶点时取等号），本题中不可能是右顶点，所以，．
所以，B错误；
若在以为直径的圆上，即，由选项A讨论知，
所以，即，从而，，渐近线方程为，C错误；
若，则，所以，
中，，
中，，
，所以，，，
，，，
所以，由对称性知的斜率为，D正确．
故选：AD．
14．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线交轴于点，垂足为点，若，则（ ）
A．直线与圆相切
B．与有相同的焦点
C．的渐近线方程为
D．的离心率为
【答案】ABD
【分析】作出图象，利用直角三角形全等易得焦点到渐近线的距离为,并得到进而在直角三角形中利用射影定理得到的关系，得到渐近线方程，离心率和椭圆的焦点坐标，从而对各选项作出判定.
【详解】过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点,则,
不妨设在轴上方，则
,，，
∴
∴,，
由已知得,
由，得,∴,∴
∴双曲线的渐近线为,故C错误；
，
∴，故D正确；
∵⊥直线,且,∴直线与圆相切，故A正确；
双曲线的焦点为,,
,即，为中心在原点焦点在轴上的椭圆，
半焦距,焦点坐标为,.
∴与有相同的焦点，故B正确.
故选:ABD.
15．已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C．两条渐近线夹角的余弦值为 D．双曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线渐近线的性质、角平分线定理、余弦定理、二倍角公式以及离心率等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】根据双曲线渐近线的对称性可知A选项正确.
B选项中，因为在中，OF为的平分线，
所以，所以，所以B选项正确.
C中，设，则，
由余弦定理得，
所以C选项错误.
D中，因为，
所以，即，所以，
所以D选项正确.
故选：ABD
16．设，是双曲线的左 右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为
C．的外接圆半径为 D．的面积为18
【答案】BD
【分析】根据题意可求得，作，由为的中点，可得，可判断A；根据三角形中位线以及，可求得，然后根据及双曲线的定义可得，再结合勾股定理即可求得，，的值，即可判断BD；根据正弦定理可判断C.
【详解】根据题意设，，且.
取双曲线的一条渐近线为，则到的距离为，作，如图所示：
则，，
∵，为的中点，
∴，且为的中点，则到直线的距离为，故A错误；
∵，为的中点
∴，
∵，
∴，
在中，，即，则，解得或（舍），
∴，则，即双曲线的离心率为，故B正确；
设，得外接圆半径为，则，
∴由正弦定理得，即，故C错误；
∵，，
∴的面积为，故D正确.
故选：BD.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内心，则（ ）
A．直线倾斜角的取值范围为 B．点与点始终关于轴对称
C．三角形为直角三角形 D．三角形面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】由双曲线及渐近线的图像判断A；过点分别作，，的垂线，垂足分别为，利用三角形内心的定义结合直线和双曲线的位置关系判断B、C、D即可.
【详解】因为双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，若直线过点且与双曲线的右支有两个交点，则直线倾斜角的取值范围为，A正确；
设焦距为，由题可知，故，如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，因为为的内心，所以由全等得,，，因为，所以，又，得，所以，M点横坐标为a，同理可得N点横坐标也为，当直线不垂直于轴时，，B错误；
设直线的倾斜角为，因为分别为和的内心，则，所以，C正确；
由（1）得，则，，所以，，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以三角形的面积，D正确．
故选：ACD.
18．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，先求出点坐标，求出和的坐标，即可计算；对于B，将点坐标代入双曲线的方程，建立与的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求，对于D，分别化简，，，结合与的数量关系即可判断
【详解】
因为为正三角形，所以
所以，
所以
故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设（），则
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正确
故C错误
设的内切圆半径为，则，，
所以，即，故D正确
故选：ABD
19．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A．外心的轨迹是一条直线
B．当变化时，外心的轨迹方程为
C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上
D．若分别是中点，则的外接圆过定点
【答案】AD
【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可.
【详解】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，
所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.
设.
当点在双曲线上时：
设直线与双曲线交两点
当直线与双曲线相切时，此时切点满足：
切线
设直线与渐近线交两点
切点正是线段的中点，
∴；线段中垂线是.
中垂线与轴交于点，且.
可设
一方面，；另一方面，线段中点是
考虑到
∴
，点 确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！
依（1）设
线段中点是
线段中垂线是，即
线段中垂线是，即
∴
，即外心的轨迹方程为.故选项B错！
（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而
化简得
∴
把代入并化简得：
考虑到不在渐近线上得，故
∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；
（4）设
共圆！
的外接圆过定点原点，选项D对.
故选：AD
【点睛】关键点睛：正确地进行数学运算，应用夹角公式是解题的关键.
20．点是椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆上顶点为，，则的面积为
B．若，则椭圆的离心率的最小值为
C．令直线的斜率分别为，则
D．若的重心和内心满足，其中，则椭圆的离心率
【答案】ABD
【分析】对于A：利用余弦定理和三角形的面积公式直接求解；
对于B：利用余弦定理和基本不等式直接求解；
对于C：设，求出，即可判断；
对于D：设，求出重心.由，可得内心，即内接圆的半径为.根据的面积列方程得到，求出离心率，即可判断.
【详解】设，则.
对于A：在中，，由余弦定理得：，所以，即.因为椭圆上顶点为，所以b=2，所以，所以的面积为.故A正确；
对于B：在中，，由余弦定理得：，所以，即.根据基本不等式有，
所以，即，所以离心率.故B正确；
对于C：设，则.
因为直线的斜率分别为，由，则，所以.
由可得：，所以.故C错误；
对于D：设，则.由，所以重心.
因为，所以可设内心.即内接圆的半径为.
因为的面积为,所以，
所以，所以离心率.故D正确.
故选：ABD.
21．已知双曲线，A、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．当轴时，
C．的值为
D．若为△的内心，记△,△,△的面积分别为，则
【答案】AC
【分析】由，，成等比数列可及，，之间的关系求出离心率的值，即可判断A；由A可得的坐标，进而求出的正切值即可判断B；设的坐标代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的斜率之积，即可判断C；不妨设，△的内切圆半径为，由题意及双曲线的定义可得的值，即可判断D.
【详解】解：对A，因为，，成等比数列，所以，
所以可得，可得，又，
解得：，故A正确；
对于B，轴时，令，则，
故的坐标为，则
所以，所以，故B错误；
对于C，设，，则，所以，
由题意可得，，所以，
由，可得，故C正确；
对于D，不妨设，△的内切圆半径为，
则有，
可得，
所以，故D错误.
故选：AC.
22．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若C的离心率，则的取值范围是
B．若且，则C的离心率
C．若C的离心率，则
D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则
【答案】BCD
【分析】对于选项A，根据离心率求得渐近线方程，数形结合即可判断；
对于选项B，根据已知条件并结合双曲线的定义可以求得相关线段长度，利用余弦定理可建立a，c之间的关系，即可求得离心率；
对于选项C，设的内切圆半径为r，结合三角形的面积公式和双曲线的定义可以判断；
对于选项D，运用双曲线的定义以及平面几何中圆的切线长定理，即可判断．
【详解】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误．
对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，
由余弦定理得，
得，故，故B正确．
对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r，
则，故C正确．
对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则，
又所以，，故D正确．
故选：BCD．
23．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长交x轴于点D，作交于点，则（ ）.
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
【答案】BCD
【分析】由余弦定理可知，从而可知不是定值；由椭圆定义可判断B，由切线长定理和椭圆的定义可判断C，由等面积法可判断D.
【详解】对于A，设，，，
由余弦定理可知：
即，解得
由于在上运动，所以的值也在随之变化，
从而不是定值，则A错误；
对于B，根据椭圆的定义，，是定值，B正确；
对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，
得，
且，则，
所以为定值，C正确；
对于D，连接,则，
由，
解得，由，
得为定值，则D正确.
故选：BCD双曲线多选题4类小全
一.基础类(二级结论可直接使用)
1．若P是双曲线上一点，C的一个焦点为F，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．离心率为 B．的最小值是3
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是2
2．已知双曲线的右焦点为，左 右顶点分别为，则（ ）
A．过点与只有一个公共点的直线有2条
B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
3．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．内切圆的半径为
C．
D．点到轴的距离为
4．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为:
C．双曲线的离心率为
D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为
C．为定值 D．存在点，使得
6．已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A．若，的斜率分别为，，则
B．
C．的最小值为
D．的最小值为
7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为 D．点到两渐近线的距离乘积为
8．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（ ）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
二.图形类
9．如图所示的“花生壳”形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线左、右顶点为A，B，，记双曲线的左、右焦点为、，则下列选项正确的是（ ）
A．双曲线部分的方程为：.
B．焦点到曲线上任一点的距离最大值为.
C．曲线围成的图形面积不超过40.
D．曲线上存在4个P点使得为直角.
10．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左右顶点为，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．双曲线C上存在无数个点，使它与两点的连线的斜率之积为3
三.已知数量关系类
11．设，是双曲线：的左 右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为
D．点在直线上
12．已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为 D．O为坐标原点，则
13．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（ ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．
C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为
D．若，则直线的斜率为
14．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线交轴于点，垂足为点，若，则（ ）
A．直线与圆相切
B．与有相同的焦点
C．的渐近线方程为
D．的离心率为
15．已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C．两条渐近线夹角的余弦值为 D．双曲线的离心率为
16．设，是双曲线的左 右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为
C．的外接圆半径为 D．的面积为18
四.内心类
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内心，则（ ）
A．直线倾斜角的取值范围为 B．点与点始终关于轴对称
C．三角形为直角三角形 D．三角形面积的最小值为
18．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．
19．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A．外心的轨迹是一条直线
B．当变化时，外心的轨迹方程为
C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上
D．若分别是中点，则的外接圆过定点
20．点是椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆上顶点为，，则的面积为
B．若，则椭圆的离心率的最小值为
C．令直线的斜率分别为，则
D．若的重心和内心满足，其中，则椭圆的离心率
21．已知双曲线，A、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．当轴时，
C．的值为
D．若为△的内心，记△,△,△的面积分别为，则
22．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若C的离心率，则的取值范围是
B．若且，则C的离心率
C．若C的离心率，则
D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则
23．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长交x轴于点D，作交于点，则（ ）.
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
