4.4.2 对数函数的图象和性质 同步练习（含解析）

4.4.2 对数函数的图象和性质
函数且的图象恒过定点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
已知，，，则( )
A. B. C. D.
若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
若函数在区间上的最大值比最小值大，则实数( )
A. B. C. D.
人们通常以分贝符号是为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为喷气式飞机起飞时，声音约为，一般说话时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍．( )
A. B. C. D.
已知且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
函数的图象必过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
设函数，则是( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
下列函数中，在区间上单调递增的是 ( )
A. B. C. D.
已知函数，则下列结论正确的是 ( )
A. 函数的单调递增区间是
B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称
D. 不等式的解集是
已知函数的图象如图，则 ．
函数的定义域为 ，单调递减区间为 ．
若函数为偶函数，则 ， ．
已知函数，若且，则的取值范围为 ．
函数的递减区间是 ；函数在是单调递减的，则的取值范围是 ．
设且，．
求的值及的定义域；
求在区间上的最大值．
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度单位：与其耗氧量之间的关系为 其中，是实数据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为个单位，而其耗氧量为个单位时，其飞行速度为．
求出，的值；
若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，则其耗氧量至少要多少个单位？
已知，
求，；
已知函数，___请从，选一个补充横线条件后，求函数的最大值并求函数最大值时的值．
已知实数满足：，函数．
求实数的取值范围；
求函数的最大值与最小值，并求取得最大值与最小值时的值
已知函数且．
当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
已知函数，．
求函数的定义域；
当时，解关于的不等式；
当时，，求函数在区间上的最值．
设函数，其中为常数．
当时，求的定义域；
若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
令对数的真数等于，求得、的值，可得它的图象恒过定点的坐标．
【解答】
解：对于函数且，
令，求得，，
可得它的图象恒过定点，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
解：，，
，，
，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
分和两种情况，利用函数在它的定义域上的单调性，结合条件求得的取值范围，再取并集，即得所求．
【解答】
解：当时，函数在它的定义域上是增函数，
由于，则，
故可得．
当时，函数在它的定义域上是减函数，
由于，故可得．
综上可得的取值范围是，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的性质，对数函数的单调性，属于基础题；
直接利用对数函数的单调性，通过最值的差，求出的值即可．
【解答】
解：因为函数在区间上单调递增，
，
解得．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数函数的实际运用，是中档题．
根据强度为的声音对应的等级为，分别算出喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度，即可求出结果．
【解答】
解：喷气式飞机起飞时，声音约为，
，，，
一般说话时，声音约为，
，，，
，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算以及对数函数的性质，考查等价转化思想，属中档题．
由且得，，，原不等式变形为，由此可得结论．
【解答】
解：由且，
则，，，
由，
得，
即
得，
由，
则解得，
故
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题，
根据对数的图象以及函数图象的平移变换求解即可．
【解答】
解：，
就是将的图象向左平移两个单位得到，
其大概图象如图所示，
结合图象可知BCD正确，
故选BCD．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
首先根据题意判断定义域，然后通过奇函数定义，得到函数为奇函数，最后判断函数的单调性即可．
【解答】
解：因为，所以定义域为．
又因为，所以为奇函数．
因为在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在定义域上是增函数．
故选．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是复合函数的单调性，属于基础题．
结合复合函数的单调性规律：同增异减，进行判断即可．
【解答】
解：因为在区间上，所以排除；
又在区间上，单调递减，且，
函数单调递减，所以在区间上单调递增，选项B符合题意；
因为在区间上，单调递增，且，函数单调递增，
所以在区间上单调递增，选项C符合题意；
因为在区间上，单调递增，且，函数单调递减，
所以在区间上，单调递减，选项D不符合题意．
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复合函数的性质，以及对数函数的性质．
利用对数函数的性质，以及复合函数的性质，对每个选项逐一判断，即可得．
【解答】
解：因为函数，
令，
当时，解得或，
又函数在定义域上单调递增，
所以函数的单调递增区间是，故A错误；
由于真数能取遍所有的正数，故函数的值域为，故B正确；
因为函数的对称轴为，则函数的图象关于对称，故C正确；
不等式，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集是．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数型函数图象、对数方程、对数的运算．
将图象上点的坐标代入函数解析式即可求出．
【解答】
解：由图象可知：点、在函数且的图象上，
所以，解得，，
所以．
故答案为：．

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
根据对数函数的真数大于，构造不等式，解得函数定义域，再由复合函数同增异减的原则，得到单调区间．
【解答】
解：由得：
，
故函数的定义域为，
当时，为减函数，为增函数，
故函数为减函数，
即函数的单调递减区间为，
故答案为：，．

13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出的值，属于基础题．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得，
可得，变形分析可得的值，即可得函数的解析式，将代入解析式即可得答案，
【解答】
解：根据题意，函数为偶函数，
则，即，
变形可得：，
则有，
则，则，
故答案为：；．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数求函数值域的方法，数形结合的思想方法．
画出函数的图象，根据数形结合可知，，且，再将所求化为关于的函数，利用函数单调性求函数的值域即可．
【解答】
解：画出的图象如图：
，且，
且，，
，即，
，，
在上为减函数，
，
的取值范围是．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是复合函数的单调性和单调区间，对数函数的性质的有关知识，属于较难题．
根据题意，结合复合函数的单调性进行求解即可；根据在是单调递减的，可以得到，据此求解即可．
【解答】
解：是单调增函数，
要使单调递减，则须单调递减，
解得：，
则函数的递减区间是；
令，
则，
要使在是单调递减的，
则在是单调递减的，且在上，恒大于，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为； ．

16.【答案】解：，
，
解得，
由，得，
函数的定义域为；
，
当时，是增函数；
当时，是减函数．
函数在上的最大值是．

【解析】本题考查了函数的定义域，函数的最值，对数函数的性质，属于中档题．
由即可求出值，令可求出的定义域；
研究在区间上的单调性，由单调性可求出其最大值．
17.【答案】解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为，此时耗氧量为个单位，故有，即；
当耗氧量为个单位时，速度为，故有，
整理得．
解方程组，得，
由知，，所以要使飞行速度不低于，
则有，即，即，解得，
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，则其耗氧量至少要个单位．

【解析】本题考查了对数函数模型的应用，利用对数函数的单调性解对数不等式，属于中档题．
将和这两组值代入，即可求得答案
由，解不等式即可求得的最小值．
18.【答案】解：由，解得，
由，解得，
；
，
若选令
；
当，．
则当时，函数取最大值为．
若选，令，
，
当，即时，．
则当时，函数取最大值为．
【解析】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，交集和并集的运算，换元法求函数最值的方法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
可求出集合，，然后进行交集的运算求出，进行并集的运算求出；
可得出，可选，从而得出，然后换元，从而得出，配方即可求出的最大值，并求出对应的的值．同样的方法，时，求出对应的的最大值及对应的值即可．
19.【答案】解：实数满足，
变形可得：，
即，
得，，
故得的取值范围为；
，
变形可得：
，
，，
．
当时，有最小值，
当时，有最大值．
【解析】本题主要考查了指数函数，对数及对数函数，二次函数的最值．
结合二次函数求解该不等式即可
根据对数的运算法则，化简，结合二次函数求解最值．
20.【答案】解：，
由题设知对一切恒成立，
因为，所以在上为减函数，
由，解得，
又且，
所以的取值范围为．
假设存在这样的实数．
，，函数为减函数．
在区间上为减函数，
为增函数，
，
时，的最小值为，的最大值为，
即
故不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为．
【解析】本题考查了复合函数的单调性，函数的最值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于拔高题．
结合题意得到关于实数的不等式组，求解不等式即可求得最终结果；
假设存在这样的实数，由题意结合对数函数的性质即可得出矛盾，即可得到答案．
21.【答案】解：由，得．
当时，；
当时，．
所以的定义域是当时，；当时，．
当时，任取、，且，
则，所以．
因为，所以，即
故当时，在上是增函数．
；
，
又，
；即不等式的解集为．
当时，，易知在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，最大值为．
【解析】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于拔高题．
由，得下面分类讨论：当时，；当时，即可求得的定义域
根据函数的单调性解答即可；
令在上是单调增函数，只需求出最大值即可．
22.【答案】解：当时，函数，
要使函数有意义，只需要：或，
，，即函数的定义域为，
，
，
，，
的取值范围是，
又恒成立，可得恒成立，
，
，
即，
故实数的取值范围是．
【解析】根据对数函数的性质及对数不等式即可求解函数的定义域，
结合不等式的恒成立与最值求解的相互转化可求．
本题主要考查了与对数有关的不等式及值域的求解，体现了转化思想的应用，属于较难题．
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