4.4.3 不同函数增长的差异 同步练习（含解析）

4.4.3 不同函数增长的差异
当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A. B. C. D.
某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润与售出商品的数量的关系，则可选用( )
A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数
当时，有下列结论：
指数函数，当越大时，其函数值的增长越快
指数函数，当越小时，其函数值的增长越快
对数函数，当越大时，其函数值的增长越快
对数函数，当越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
对于任意，不等式都成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
四人赛跑，假设他们跑过的路程其中和时间的函数关系分别是，，，，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A. B. C. D.
下面对函数，与在区间上的衰减情况说法正确的是( )
A. 衰减速度越来越慢，衰减速度越来越快，衰减速度越来越慢
B. 衰减速度越来越快，衰减速度越来越慢，衰减速度越来越快
C. 衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢
D. 衰减速度越来越快，衰减速度越来越快，衰减速度越来越快
以下四种说法中，错误的是( )
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 不一定存在，当时，总有
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，甲走在最前面
B. 当时，乙走在最前面
C. 当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C. 当时，增长速度一直快于
D. 当时，增长速度有时快于
函数与函数在区间上增长较快的一个是 ．
函数模型，，，随着的增大，增长速度的大小关系是 填关于，，的关系式
根据函数，，给出以下命题：
，，在其定义域上都是增函数；
的增长速度始终不变；
的增长速度越来越快；
的增长速度越来越快；
的增长速度越来越慢．
其中正确的命题序号为 ．
下列选项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ．
；；；
对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若，，那么当足够大时，一定要 填
试比较，和的增长情况．
函数，，的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异以，，，，，为分界点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
结合幂函数，一次函数，指数函数与对数函数的增长速度进行分析判断．
本题主要考查了函数速度增长快慢的判断，属于基础试题．
【解答】
解：结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数、一次函数、二次函数以及对数函数的增长差异，增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．
由题意可知，利润与时间的函数模型是个增函数，而且增长速度初期增长迅速，后面增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
【解答】
解：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度初期增长迅速，后面增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
由指数函数的性质可判断的真假，根据对数函数的性质可判断的真假．
【解答】
解：当时，
结合指数函数及对数函数的图象可知，
指数函数，当越大时，其函数值的增长越快，
对数函数，当越小时，其函数值的增长越快，
故正确．
故选：

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数、二次函数、对数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数、二次函数、对数函数的增长速度，结合特殊函数值进行求解即可．
【解答】
解：时，令得：或，
由于指数函数增长速度比二次函数要快，
当时，恒成立，
且当时，也成立，对数函数增长速度小于二次函数，
的最小值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数、一次函数、指数函数与对数函数的图象和性质，属于基础题比较四个函数的增长速度即可求解．
【解答】
解：由幂函数、指数函数、对数函数的图象可知，当自变量足够大时，
的增长速度大于的增长速度大于的增长速度大于的增长速度，所以最终跑在前面的是具有函数关系的人．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的当图像为下凸的减函数时如本题减小速度是越来越慢的．
本题考查函数图象的应用，中档题．
【解答】
解：画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C因为三个函数都是下凸函数，
选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质应用问题，是一般题．
通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】
解：对于，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；
对于，当时，由幂函数和对数函数的图象知，存在时，，所以B错误；
对于，当时，由指数函数和对数函数的图象知，存在时，，所以C错误；
对于，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的图象知，
不一定存在，当时，总有，所以D正确．
故选ABC．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异．
观察题目即可发现：、、、所对应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数函数模型，结合这些函数模型特点，即可判断的正误．
【解答】
解： 甲、乙、丙、丁的路程关于时间的函数关系式分别为
，，，，
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当时，，，所以不正确
当时，，，所以不正确
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，
从而可知，当时，丁走在最前面，当时，丁在最后面，所以 C正确
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
故选CD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数和幂函数增长速度的快慢问题，属于中档题．
在同一坐标系中画出三个函数的图象，观察即可得结论．
【解答】
解：
函数在上共有两个交点，为，，
当时，的增长速度小于，故 A的说法错误
由图像知随着的逐渐增大，增长速度越来越快于的说法正确
由图象观察可知当时，增长速度有时慢于，
故C的说法错误
由图象可得， 当时，的增长速度快于，
故当时，增长速度有时快于的说法正确．
故选BD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的增长差异，属于基础题．
根据题意分析即可．
【解答】
解：由于对数函数在区间上的增长速度慢于一次函数，所以函数比函数在区间上增长较快，
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异．
根据指数函数增长速度最快、一次函数次之、对数函数增长速度最慢，可得结论．
【解答】
解：根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得：
．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数、一次函数、指数函数的增长速度的差异，属于基础题．
对各个选项逐一验证可以得出答案．
【解答】
解：由题可知，，在其定义域上都是增函数，
的增长速度始终不变，的增长速度越来越快，而的增长速度越来越慢，
故正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的增长速度快慢问题，属于基础题．
根据函数模型的增长速度，即可得答案．
【解答】
解：由于指数函数的底数大于，其增长速度随着时间的推移是越来越快，
对于指数函数、对数函数、幂函数、常函数，指数函数的增长速度是最快的，
更为有前途的生意，
故答案为：．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查一次函数、指数函数、对数函数之间的增长差异．
根据三种基本初等函数模型的增长变化趋势，可得．
【解答】
解：根据三种基本初等函数模型的增长变化趋势，
若，，当足够大时，可得．

15.【答案】解：函数，和是增函数，
随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，
而的增长速度越来越慢．

【解析】本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的性质，意在考查学生对于函数性质的综合应用．
根据对数函数，指数函数，幂函数的性质得到答案．
16.【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是．
由题图知，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
【解析】本题考查指数爆炸与对数增长及幂函数增长的差异，掌握分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是由题图知，再分类讨论：当时，当时，
当时，当时，当时，当时，当时，得出，，的大小关系即可．
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