4.5.1 函数的零点与方程的解 同步练习（含解析）

4.5.1 函数的零点与方程的解
函数的零点是( )
A. B. C. D.
若函数的零点为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
函数在区间内有零点，则( )
A. B. C. D.
若函数在区间内有唯一的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
函数的零点个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
已知函数的零点是，则函数的零点是( )
A. B. C. D.
设函数，若函数有四个零点，则实数可取( )
A. B. C. D.
，的零点为，，的零点为，，的零点为，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
已知函数则方程的解可能是( )
A. B. C. D.
定义域和值域均为常数的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解
已知函数，若的零点均小于，则实数的取值范围为 ；若在内恰有一个零点，则实数的取值范围为 ．
设函数则的零点所构成的集合为 ．
已知函数若函数有两个零点，且其中一个零点是，则函数的另外一个零点是 ．
已知函数存在零点，且与函数的零点完全相同，则实数的值为 ．
已知函数若存在实数，满足，其中，则 ；的取值范围为 ．

已知奇函数
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ讨论方程成立的零点个数。
已知二次函数有两个零点．
若在区间和上各有一个零点，求的取值范围；
若在区间上只有一个零点，求的取值范围．
已知函数．
当时，求函数的零点；
若有零点，求的取值范围．
已知．
设，，若函数存在零点，求的取值范围；
若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围．
已知函数，其中为常数．
若在区间单调递减，求实数的取值范围；
已知，若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数零点与方程根的关系．
令，求出的值即可．
【解答】
解：由，得，，
函数的零点为．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数零点，属于基础题．
已知函数零点的值，代入函数方程求解即可．
【解答】
解：函数的零点为，
，
解得．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数零点存在性定理，是基础题．
函数在单调递增，由零点存在性定理求解即可．
【解答】
解：易得函数在单调递增，
又，，
函数的零点所在的区间为．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点存在定理，函数的单调性与单调区间．
由题意，当时，函数是增函数，计算，，可得结论．
【解答】
解：由题意，当时，函数是增函数，且为连续函数，
计算，，
由函数零点存在定理知，在上有零点，
．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、零点判定定理的应用，是中档题．
函数在区间内有唯一的零点，根据函数单调性及利用零点判定定理列出不等式，求解即可求出的范围．
【解答】
解：函数在区间内有唯一的零点，
当时，函数单调递增，
则，
可得：，解得．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点个数的判断，函数图象的应用，属于基础题．
画出，的图象，注意，，从而判断得答案．
【解答】
解：由题意，画出函数和的图象，如图：
函数的零点，即令，，
显然有，，
当时，递减，递增，显然两函数有一个交点，即有个零点，
故共有三个交点，
故选A

7.【答案】
【解析】
【分析】
解决函数的零点问题可以应用图象法，找到交点的横坐标，数形结合思想是解决问题的常用方法．
，，分别为，，的根，作出，，的图象与直线，观察交点的横坐标的大小关系即可．
【解答】
解：由题意可得，，分别为，，的根，
作出，，的图象
与直线的交点的横坐标分别为，，，
由图象可得，
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
根据得出，之间的关系，然后解方程，从而得解．
【解答】
解：因为函数的零点是，所以，
所以，
令，因为，所以可得或，
所以函数的零点是，．
故选AB．

9.【答案】
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用已知条件结合函数的图象，推出结果即可．
本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
【解答】
解：令，得，作出的函数图象如图所示：
若函数有四个零点，
则函数的图象与有四个交点，
的取值范围为．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象的运用，求解函数的零点的方法，考查分析与计算能力，属于中档题．
画出，，，图象，结合图象可得他们零点的大小关系
【解答】
解：在同一坐标系中画出，，，图象，如图所示，
结合图象可得，，的零点分别为点，，所对应的横坐标，
由图可得．
故选AC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查方程的根，分段函数，属中档题．
先解得或，再根据分段函数分情况讨论求值即可．
【解答】
解：方程即，
解得或，
令，无解，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
结合选项可知BCD正确．
故选BCD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图像，考查逻辑思维能力及识别图象的能力，是中档题．
通过，的图像可知方程有三个解，有一个解，具体分析，，，推出正确结论．
【解答】
解：对于，方程有且仅有三个解，即有三个不同值，由于是减函数，所以有三个解， A正确
对于，方程有且仅有三个解，从图中可知，是减函数，且函数的零点为正数，所以可能有，，个解，不正确
对于，方程有且仅有九个解，从图中可知，函数的零点有个，所以可能有，，个解，所以不正确
对于，方程有且仅有一个解，结合图象，是减函数，且函数的零点为一个，所以由图象可得方程有且仅有一个解故D正确．
故选AD．

13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了函数零点存在定理、函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
若的零点均小于，由二次函数性质可得的不等式组，解之即可；若在内恰有一个零点，由函数零点存在定理或是由二次函数性质可得关于的不等式组，解之即可．
【解答】
解：若的零点均小于，
则解得．
若在内恰有一个零点，
则，或
解得．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的零点问题求解，属于中档题目．
依题意，，讨论，，分别解方程即可．
【解答】
解：，
当时由可得
当时由可得或．
故函数的零点所构成的集合为．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系利用函数的零点，函数有两个零点，即函数与有两个不同的交点，得出，即可求出结果．
【解答】
解：根据题意，即要求，
的图象与恰有两个交点，其中一个交点的横坐标为，
，
令，
另一个零点为．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点问题，涉及二次函数，综合性较强，属于拔高题．
结合零点与方程根的关系列方程组求解即可．
【解答】
解：如果函数与函数都有零点且它们的零点完全相同，则，
方程的根就是函数与函数的零点，
故，解得．
即与函数的零点相同为，且．
故答案为：．

17.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数、二次函数的图象和性质应用，函数零点与方程的根的关系，属于难题．
由题意可得，可得，，，所以，求出的范围．由此求得的范围．
【解答】
解：画出函数的图象，如图：
由题意可得
，
可得，故．
，令，得或，
结合函数的图象可知，
所以，，
故有，
故答案为：；．

18.【答案】解：Ⅰ因为函数为奇函数，故满足，
当时，，
则；
Ⅱ由可知，
作出函数图象如下图：
方程成立的零点个数，即函数的图象与交点个数，
当或时，一解
或时两解
时三解．

【解析】本题考查了函数奇偶性的应用以及利用图像交点个数确定函数零点个数．
Ⅰ根据函数为奇函数，则，即可求解
Ⅱ作出函数的图象，根据函数的图象与交点个数即可求解方程成立的零点个数．
19.【答案】解：函数，区间和上各有一个零点，
只需满足，得，
函数，在区间上只有一个零点，
，得．
考虑边界情况：由，得，
，或，
满足题意，
由，得，
，或，．
综上，的取值范围为．
【解析】本题考查函数的零点问题，属于中档题．
由题意可得，求解即可；
根据，解得，再考虑边界情况即可．
20.【答案】解：当时，．
令，即，
解得或舍去．
，函数的零点为；
若有零点，则方程有解，
于是，
，
，即．
【解析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题．
问题转化为时解方程；
有零点，则方程有解，分离出后转化为求函数的值域问题．
21.【答案】解：由题意函数存在零点，即有解．
当时，，
易知在上是减函数，
又，，即，
所以，所以的取值范围是．
的定义域为，是偶函数，
，
，
，
检验，
，
，
为偶函数，
若函数与的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根，
化简得：方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
，不合题意，
当时，若方程有两个相等的正数根，则或，
若，不合题意；若，
若方程有一个正根和一个负根时，则，即时，满足题意，
实数的取值范围为或．
【解析】本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
由题意函数存在零点，即有解，转化为利用函数的单调性求出的范围；
先根据偶函数的性质求出的值，再根据函数与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一个实根，化简可得方程有且只有一个实根，令，则转化为方程有且只有一个正根，讨论，以及与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数的取值范围．
22.【答案】解：是由函数和复合而成，而为减函数，
当时，为上的减函数，
则为上的增函数，不符合题意；
当时，则在区间单调递增，
综上实数的取值范围是
函数在内有且只有一个零点
方程，
即在内有且只有一个根．
令，
则条件等价于两个函数与的图象在区间内有唯一的交点．
当时，在上单调递减，，
在上递增，且，
与在内有唯一的交点；
当时，图象开口向下，对称轴为，
在上单调递减，而在上单调递增，
则
故；
当时，图象开口向上，对称轴为，
在上单调递减，而在上单调递增，
则
故；
综上，所求实数的取值范围是．
【解析】本题考查复合函数的单调性和函数零点问题，用分类讨论的思想解决函数的零点问题，属于难题．
根据复合函数的单调性可得当时，则在区间单调递增，从而得解．
因为函数在区间内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个根，等价于两个函数与的图象在区间内有唯一的交点利用分类讨论的数学思想可得结果．
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