第三章 函数的概念与性质--(强化练习)（含解析）

第三章函数的概念与性质
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ， B. ，
C. D. ，
如图是张大爷晨练时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
A. B. C. D.
已知函数的定义域为R，满足，且，若，则等于( )
A. B. C. 2 D. 4
设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
设，则的值是( )
A. 24 B. 21 C. 18 D. 16
定义在R上的偶函数，对任意，有，则( )
A. B.
C. D.
已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
给出下列命题，其中是错误命题的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的单调递减区间是
C. 若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数
D. ，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数
已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是( )
A. 当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数
B. 当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C. 当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D. 当时，幂函数在上是减函数
三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
已知函数在上的图象如图所示，则的解析式为__________.
函数的定义域是__________.
已知奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，则的值为__________.
函数的单调递减区间为__________.
函数的单调增区间是__________
已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知定义在上的奇函数是增函数，且
求函数的解析式；
解不等式
本小题分
已知函数
证明：函数是偶函数；
利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
写出函数的值域和单调区间．
本小题分
已知函数
求函数的解析式；
根据函数单调性的定义证明在上是减函数．
本小题分
设函数的定义域为且，且满足条件对任意的，，有，且当时，有
求的值；
如果，求x的取值范围．
本小题分
若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，求函数的最大值以及单调区间．
本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称“局部中心函数”．
已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
若是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，的定义域是R，的定义域是
定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；
对于B，的定义域是R，的定义域是R，对应关系不同，不是相同函数；
对于C，的定义域是R，的定义域是R，
定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于D，的定义域是R，的定义域是，
定义域不同，不是相同函数．
故选：
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是相等的函数．
本题考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题目．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用．
由已知图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除.
【解答】
解：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，D符合；
A：行走路线是离家越来越远，不符合；
B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
故选

3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用赋值法求解函数值，关键是要选择特殊的函数值进行求解．
函数满足，且，令可求 ，然后由 可求，然后由可求
【解答】
解：函数满足，且，
，，
，，
，
，
故选

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】
解：是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故A错误；
为偶函数，故B错误；
是奇函数，故C正确；
为偶函数，故D错误，
故选

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，是基础题．
由已知条件利用函数的性质得，由分段函数即可得到．
【解析】
解：，
故选：
6.【答案】A
【解析】解：由题意，对任意，有，
函数在上单调减
函数是偶函数，
故选：
确定函数在上单调减，结合函数是偶函数，即可得到结论．
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
利用函数恒成立，转化求解a的表达式，然后通过二次函数的最值求解即可．
【解答】
解：由题意得，对一切，都成立，
即，因为，，所以当时，
有最大值1，则实数a的取值范围为：
故选：

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用.
由已知得的周期为4，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解.
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称.
由，得，
所以，
则，即的周期为4，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以
故选

9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查函数定义域和单调性的概念.
根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.
【解答】
解：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；
B.函数的单调递减区间是和，故B错误；
C.若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上不一定为单调增函数，如，故C错误；
D为单调性的定义，正确.
故答案为

10.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．
利用幂函数的定义和性质及奇偶函数的定义可判断ABC，利用幂函数在上的单调性可判断
【解答】
解：幂函数互质，
故m，n都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确；
当m是偶数，n是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确；
当m是奇数，n是偶数时，幂函数定义域为一定不是偶函数，
如，它的定义域为不是偶函数，故C错误．
当 时，幂函数在上是增函数，故D错误，
故选：

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的解析式的求法，属于基础题．
函数明显为分段函数，根据一次函数解析式即可得解．
【解答】
解：当时，；
当
故的解析式为
故答案为：

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
根据函数令即可得到定义域.
【解答】
解：函数，
要使其有意义，即，得，
解得：
函数的定义域是
故答案为

13.【答案】9
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
利用单调性可知的最大值为，的最小值为，再结合奇函数得，即可求出答案.
【解答】
解：由于在上为增函数，
所以的最大值为，的最小值为，
因为为奇函数，
所以，
所以
故答案为

14.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的单调性，属于基础题.
将原函数变形为，通过研究函数的图象得到单调区间.
【解答】
解：因为，
所以函数的图象是将向上移动1个单位，单调性不改变，
易知的单调递减区间为， ，
所以的单调递减区间为，
故答案为，

15.【答案】和
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性，涉及二次函数的单调性，绝对值函数的图象的作法.
画出函数的图象，利用函数的图象求函数的单调区间.
【解答】
解：由，可得或，
且函数的对称轴为，
所以，
作出函数的图象如图所示，
可知函数的单调递增区间为和
故答案为和

16.【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论结合函数的单调性即可得解．
本题考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，解题的时候需要注意的是题目所给的区间为开区间，属于较难题．
【解答】
解：当时，在区间上不存在最小值；
当时，函数在区间上为增函数，不存在最小值；
当时，由双勾函数的图象及性质可知，要使在区间上存在最小值，则需满足，即
故答案为：

17.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，得，
又因为，所以，
所以；
因为定义在上的奇函数是增函数，
由得
所以有，
解得
即不等式的解集为
【解析】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生的计算能力，正确运用函数的单调性是关键．
利用是定义在上的奇函数，可得，从而可求b的值，根据，求出a的值，即可求函数的解析式；
利用定义在上的奇函数是增函数，由得，可得不等式组，解之，即可求解不等式．
18.【答案】解：函数的定义域为R，
定义域关于原点对称．
，
函数是定义在R上的偶函数．
当时，
当时，
当时，
综上函数的解析式为，
函数的图象为：
由函数的图象可知函数的值域为函数的单调递减区间为函数的单调递增区间为
【解析】本题主要考查了偶函数的概念及判断、分段函数的解析式及图象、函数的值域及单调区间，属于基础题.
根据函数奇偶性的定义证明，即可证明该函数为偶函数；
分，，三段写出函数的解析式，根据解析式作出函数图象；
由图象得出函数的值域及单调区间．
19.【答案】解：因为，
所以
证明：取，且，
有
，
因为，
所以，，
又由，得，
于是，
即，
所以
所以，函数在上是减函数.
【解析】本题考查求函数解析式及利用定义法证明函数单调性，属于基础题.
化简为，可得
取，且，，根据已知可得 ，函数在是减函数.
20.【答案】解：因为对任意的，，有，
所以令，得，所以
设，则
又因为当时，，
所以，即，
所以在定义域内为增函数．
又，令，得，
即
即时，原不等式可化为
又因为在定义域上为增函数，
所以，解得或
又因为，所以
所以x的取值范围为
【解析】本题主要考查了抽象函数求值，以及利用抽象函数的单调性解不等式，同时考查了转化的思想，属于中档题.
利用赋值法，令，得，就可解得
根据可得，从而将转化成，然后结合函数的单调性和定义域建立关系，解之即可．
21.【答案】解：设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
所以
作出函数的图像如图所示，
可知函数的最大值为1，
的单调递增区间是，单调递减区间是和
【解析】本题考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
设，，代入点的坐标，解方程可得，的解析式，再由定义，求得的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间.
22.【答案】解：
当时，，
是“局部中心函数”.
是R上“局部中心函数”，
，
即有解.
令，则，则在时有解，
①当时，，则，；
②当时，令，
则，解得，
，
综上可得
【解析】本题考查新定义问题，考查函数的对称性，代换法及二次函数的性质.
根据新定义直接代入判断即可；
问题转化为在时有解即可求解.
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