第四章 指数函数与对数函数--(单元练习) （含解析）

第四章指数函数与对数函数
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设，，则( )
A. B. C. D.
宜昌一中高一期末已知关于的不等式，则该不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
已知函数，记，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
函数的大致图象如图，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
已知函数的值域是 ，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则( )
A. B. C. D.
定义，如，且当时，有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知某湖泊蓝藻面积单位：与时间单位：月满足若第个月的蓝藻面积为，则( )
A. 蓝藻面积每个月的增长率为；
B. 蓝藻每个月增加的面积都相等；
C. 第个月时，蓝藻面积就会超过；
D. 若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，则
已知函数，，对，与中的最大值记为，则( )
A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为
C. 方程有个解 D. 方程最多有个解
若，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
已知函数，则下面几个结论正确的有( )
A. 的图象关于原点对称
B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为
D. ，，且，恒成立，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
化简的结果为__________．
已知，则不等式的解集为 ．
已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是 ，设，则 ．
如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”在下面的五个点，，，，中，可以是“好点”的个数为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数，函数．
求函数的值域；
若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
本小题分
年某市某地段商业用地价格为每亩万元，由于土地价格持续上涨，到年已经上涨到每亩万元，现给出两种地价增长方式，其中：是按直线上升的地价，：是按对数增长的地价，是年以来经过的年数年对应的值为．
求，的解析式；
年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求年的地价相对于年上涨幅度控制在以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型参考数据：
本小题分
设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点．设函数，．
Ⅰ若，求函数的次不动点
Ⅱ若函数在上不存在次不动点，求实数的取值范围．
本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求时，的解析式；
设，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
本小题分
已知函数在上的最大值与最小值之和为
求实数的值；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
本小题分
解方程
已知，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算．
由对数的运算性质可得，继而用，表示出，，最后利用换底公式求解即可．
【解答】
解：
则．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性解不等式
将转化为，根据单调性求解
【解答】
解：依题意可知，原不等式可转化为，由于指数函数为上的增函数，故，解得，故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
推导出，的增区间是，的减区间是，推导出，由此能比较、、的大小关系．
本题考查三个数的大小关系的判断，考查指数、对数函数的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：已知函数，
由，解得，所以函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
根据复合函数的单调性可知的增区间是，的减区间是，
，
，
，
，
记，，，
、、的大小关系是．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，函数的性质等基础知识，对数运算，考查运算求解能力，是中档题．
由，得，由此能求出．
【解答】
解：函数，，
，
，
．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查图象的平移变化，属于基础题．
由函数的图象可得且，从而可得的大致图象．
【解答】
解：由图象可得函数单调递减，
所以，
与轴的交点为，，
所以，
则函数为减函数，排除、，
当时，，排除．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的性质与值域，考查基本不等式求最值，属于中档题．
由题意可得：可以取遍的任意值，也就是函数的最小值小于等于，再由均值不等式可得：，进而得到答案．
【解答】
解：因为函数的值域为，
所以函数的最小值小于等于，
由均值不等式可得：，
当且仅当时“”成立，
即的最小值为：，
所以，
即．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数图像与性质，幂函数的解析式，属于中档题．
利用指数函数的性质求得点，代入幂函数求得其解析式，然后求．
【解答】
解：函数且的图像恒过定点，
当时，，即，
设，代入点，，则，，
．
故选A ．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数存在性问题，考查换元法的应用，属于中档题．
依题意知有解，则将不等式问题转化为，构造函数令，，再利用换元法，可得，从而可得答案．
【解答】
解：由题可知，当时，有解，
令，，则将不等式问题转化为，
令，，
，
当时，取得最大值，即取得最大值，
，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的选择和应用问题，在解答时，由已知条件第个月的蓝藻面积为， 进而确定函数解析式，属于中档题．
结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，选项要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．
【解答】
解：由题意可知：浮萍蔓延的面积与时间月的关系：且，
由题意，，这个指数函数的底数是，可知浮萍每月的增长率为，A正确；
函数的解析式为：，
对于，浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，不正确；
对于，当时，，故第个月时，浮萍的面积就会超过，成立，故C正确；
对于，由于：，，，
，，，
又因为，
若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，
则，，，
则成立．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查一元二次函数的零点，函数的概念与最值，函数图象及其应用，方程与函数等函数的基础知识，考查学生的应用所学知识分析问题与解决问题的能力，属稍难题．
【解答】
解：对于，由，即，得或，所以的零点为和，所以不正确
对于，因为的解为和，在同一坐标系内作出与的图象，由图象可知，当时，有最小值，所以B正确
对于，因为的图象与有个交点，所以方程有个解，所以C正确
对于，令，因为，由的图象可知，当时，最多有个解，，当时，有个解而有个解，故最多有个解，所以D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于中档题．
设，由，根据函数的单调性即可比较．
【解答】
解：设，则为增函数，因为，
所以，
所以，所以，
所以，
当时，，此时，有，
当时，，此时，有，所以、、D错误．
故选：

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域，属于中档题．
利用函数性质逐一判断即可．
【解答】
解：对于，，则，则的图象关于原点对称，对
对于，计算，，故的图象不关于轴对称，错
对于，，令，，
在上单调递减，易知：，
故的值域为，对
对于，，由函数在上单调递增，及函数在上单调递减，知在定义域上单调递减，
故，，且，恒成立，对
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数运算性质的应用，考查了数学运算能力．
运用指数运算的性质进行运算即可．
【解答】
解：
．
故答案为：

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行讨论求解是解决本题的关键，属于基础题．
根据分段函数的表达式，讨论，进行求解即可．
【解答】
解：当时，，函数单调递增，且时，，
所以原不等式等价于或，得，即原不等式的解集为．
故答案为：．

15.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了函数零点与方程根的关系，该题解决函数零点问题的方法是方程加图象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解，属于中档题．
将函数有四个不同的零点，转化为方程有四个不同的解，即与的图象有四个不同的交点，结合图象可得的范围；由二次函数的对称性，可得的值，结合，满足的方程，可求出所求．
【解答】
解：因为函数有四个不同的零点，，，，
所以方程有四个不同的解，
作出函数的图象如下图．
由图可知，即，
由二次函数的对称性，可得，
又
，
即，得，
所以，
故．
故答案为：；．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，考查分析理解能力，属于中档题．
利用对数函数的性质，易得，不是好点，利用指数函数的性质，易得不是好点，利用“好点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到，两个点是好点，从而得到答案．
【解答】
解：当时，对数函数恒过点，
故，，一定不是好点，
当时，指数函数恒过点，
故也一定不是好点，
而是函数与的交点；
是函数与的交点；
故好点有个，
故答案为．

17.【答案】解：
，
即的值域为
不等式，即对任意实数恒成立，
．
，
令，
，，
设，，
当时，取得最小值，
即，
，
即，
，即，
解得，
实数的取值范围为

【解析】本题考查了对数函数和指数函数及其性质、二次函数和不等式恒成立．
先化简得，即可得出函数的值域
由不等式对任意实数恒成立，得，利用换元法结合二次函数的性质可求得，所以，即可求得实数的取值范围．
18.【答案】解：由题意可知：，，
所以，且，解得，，
所以，
又，，
所以，解得，，舍去，
所以，
若按照模型：，到年时，，，
直线上升是增长率为，不符合要求，
若按照模型：，到年时，，，
对数增长的增长率为，符合要求，
综上，应该选择模型．
【解析】本题考查根据实际问题建立函数模型，涉及到增长率的计算，属于拔高题．
根据已知实际代入函数解析式解出，，，，即可求解；分别求出两种模型的增长率，比较即可选择．
19.【答案】解：Ⅰ当时，函数，
依题得，，
，，，
函数的次不动点为；
Ⅱ根据已知，得在上无解，
在上无解，
令，，在区间上无解，
在区间上无解，
设，在区间上单调递减，
故，
或，
又在上恒成立，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，在区间上单调递减，
故，
，
综上实数的取值范围．
【解析】本题综合考查了函数恒成立问题、函数的基本性质等知识，理解所给的次不动点这个概念是解题的关键，属于难题．
Ⅰ首先，根据所给的值，代入后，结合次不动点的概念建立等式，然后，结合指数幂的运算性质，求解即可；
Ⅱ首先，得在上无解，然后，利用换元法进行确定其范围即可．
20.【答案】解：设，则，
则，
故；
由可知，时，
，
由，得，设，则，
故，，对称轴是，
函数在上有最小值，即为在上有最小值，
即时，在递增，
故，此时，不存在满足条件的实数；
即时，，解得：或，
此时，满足条件；
即时，函数在递减，
故，解得：，
此时，不存在满足条件的实数；
综合，存在满足条件的，使得的最小值为．
【解析】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查二次函数，指数函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是难题．
根据时函数的解析式以及函数的奇偶性求出时的解析式即可；
设，则，故，，函数在上有最小值，即为在上有最小值，求出函数的对称轴，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于的方程，解出即可．
21.【答案】解：在上为单调函数
即：
解得：或舍去 的值为．
依题意，恒成立
在上为增函数

，即：的取值范围为．

【解析】本题考查了指数函数及其性质、对数函数及其性质和不等式的恒成立问题，是中档题．
易知在上为单调函数，则，解出可得；
由题意得恒成立，研究最值可得实数的取值范围．
22.【答案】解：等价于
解得或舍去，
故原方程的解为．
解：原式，
将的值代入上式得
原式

【解析】本题主要考査对数方程的解法，属于基础题注意对数有意义的条件．
本题主要考査代数式的化简求值，指对运算，属于基础题先根据指数幂的运算法则化简，再代入根据对数运算法则计算可得．
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