第四章 指数函数与对数函数-(强化练习) （含解析）

第四章指数函数与对数函数
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
从年开始，支付宝推出了一款“蚂蚁森林”的小应用，使用者通过完成任务收集能量，在荒漠中种树，从而为祖国绿色公益事业做出贡献．某人于年通过“蚂蚁森林”种植了一棵树．已知该树的高度米与生长年限年，的函数模型为，则该树的高度开始超过米的年份为参考数据：( )
A. B. C. D.
函数的图象经过点，则
A. B. C. D.
函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
对任意实数，都有，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
若函数是指数函数，则的取值范围是( )
A. B. ，且 C. D.
设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是( )
A. ， B. ， C. D.
函数的零点为．( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列运算法则正确的是( )
A. B.
C. 且 D. 、
已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是( )
A. B. C. D.
设为常数，则( )
A. 当时，为奇函数 B. 当时，为奇函数
C. 当时，为非奇非偶函数 D. 当时，为非奇非偶函数
在同一直角坐标系中，函数与，且的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数的取值的有( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数在区间上的最大值为 ．
不等式的解集为 ．
金陵中学高一期末已知函数，若，则的值为 ．
已知函数为偶函数，且当时，，则当时， ；如果实数满足，那么的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
双十中学高一月考已知实数满足关系式且，且．
若，求的表达式；
在的条件下，当时，有最小值，求和的值．
本小题分
湖南师大附中高一期末已知函数是偶函数，且当时，，且，________．
求当时，的解析式；
在在上单调递增，在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到上面的横线中，求的值域．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．
本小题分
已知函数．
设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
本小题分
已知函数是指数函数．
求的表达式；
判断的奇偶性，并加以证明．
本小题分
已知函数的图像经过定点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ设，，求用，表示．
本小题分
计算题：
求值：
已知，求的值
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式求解，属于基础题．
根据题意转化为不等式求解即可．
【解答】
解：令，即，
所以，即，
则该树的高度开始超过米的年份为年．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
将点代入函数解析式，求出的值，即可得到函数的解析式，再求即可．
【解答】
解：因为函数的图象经过点，
所以，解得，
则，
所以，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数及指数函数的图象和性质，属于基础题．
先将函数写成分段函数的形式，然后利用指数函数的性质求解．
【解答】
解：因为 ，
由指数函数的性质知：在函数单调递减，在单调递增，
观察四个图象只有符合．
故选D

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数函数的性质，不等式恒成立问题，属于基础题．
由题意，且对任意实数都成立，从而得出结果．
【解答】
解：，
且对任意实数都成立，
又，
，
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数与指数幂的运算，是一个基础题．
根据指数幂的运算有，将，代入求值即可．
【解答】
解：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．
利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．
【解答】
解：因为函数是指数函数，
得：，化简得
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数和函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的定义域是，则，再判断函数是偶函数即可．
【解答】
解：函数的定义域是，则，又函数为偶函数，则满足条件的值是．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义．
根据题意，令，即，解可得，由函数零点的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，
令，即，解可得，
即函数的零点为；
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数式与对数式的运算，涉及数学运算等数学学科核心素养，属于基础题．
根据指数式的运算法则可判断、两个选项；再根据对数式的运算公式可以判断、两个选项．
【解答】
解：成立的条件是，且，，，．
显然当，时，；而无意义，A错误；
成立的前提条件是，
显然当、、时，；，不满足相等，则B错误．
且是对换底公式的运用，C正确．
当，时，无论还是，都成立，D正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
由函数的图象恒过点，将点分别代入各个函数可得结果．
【解答】
解：函数的图象恒过点，
将点代入四个选项中的函数逐项验证：
A.的图象过点，故A正确；
B.的图象过点，故B正确；
C.的图象过点，故C正确
D.的图象不过点，故D错误，
故选ABC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题．
代入与验证即可．
【解答】
解：当时，，，，
，既不是奇函数也不是偶函数．
当时，，是奇函数．
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数和对数函数的图象和性质，以及简单的指数、对数运算，属于基础题．
由图象可知，且，把各选项代入验证即可得到答案．
【解答】
解：由图象可知，且
，故A不符合题意
，故B符合题意
，故C符合题意
，故D不符合题意．
故选BC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质及指数运算和二次函数的最值，属于基础题．
由指数的运算化已知函数为关于的二次函数，由二次函数的知识可得答案．
【解答】
解：
，
令，由可得，
可得原函数为，
由二次函数可知，当时，函数取最大值．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式解法，属于基础题．
原不等式等价于，利用指数函数的单调性转化为二次不等式求解．
【解答】
解：不等式，
可化为：，
等价于，
即，
解得．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的求值问题，属于基础题．
求出，得到，进而可求得结果．
【解答】
解：由题意可知，，解得．
故答案为：

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，转化思想的应用，属于中档题．
根据时，，结合函数的奇偶性可求得时的解析式
将不等式化为，再根据单调性求解即可．
【解答】
解：当时，，
，
又函数为偶函数，
，
则当时，
函数是定义在上的偶函数，
，
不等式等价为，
即，
函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
不等式等价于．
即，
，
解得．
故空答案为： 空答案为： ．

17.【答案】解：由，得，
由，，知，代入上式得，
，即．
令，则．
若，要使在区间上有最小值，
则在上应有最大值，但其在上不存在最大值，故不符合题意．
若，要使在区间上有最小值，
则在上应有最小值，
当时，，，由，得．
综上可知，，．
【解析】本题考查指数与对数的互化，以及复合函数的单调性、最值，属于难题．
由指数与对数的互化，化简得解析式；
由的最值得的最值，求参数．
18.【答案】解：当时，，又是偶函数，
则，即当时，
选，由于在上单调递增，显然不符合题意，
则，解得，此时的值域是
选，若，则，显然不符合题意．
当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时，即可．
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
而在上单调递增，所以在上单调递减．
则，即，解得，
此时的值域是．

【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性的应用，考查学生的数学运算和逻辑推理素养．
根据函数为偶函数，当时，由即可求出；
若选，根据复合函数的单调性可知，，由此解出的取值范围，再根据指数函数在上单调递减，即可求出的值域；
若选，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，而与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求出．
19.【答案】解： 由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是
由，设，
令，，，
易证在为单调递减函数，在为单调递增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上单调递减，在上为单调递增，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为．

【解析】本题考查零点存在性定理、对勾函数的单调性的应用、函数的最值，考查分类讨论思想．
依题意，为单调递增连续函数，又函数在上有且仅有一个零点，利用零点存在性定理得到，即可得到实数的取值范围；设，则，，，利用对勾函数的单调性知在上单调递减，在上单调递增，对进行分类讨论，求出最大值令其等于，求出符合条件的的值，再综合即可解答．
20.【答案】解函数是指数函数，且，
，
可得或舍去，
．
是偶函数，证明如下：，，
，
是偶函数．

【解析】本题考查指数函数和函数的奇偶性，属于基础题．
利用指数函数的定义即可求解；
先判断是偶函数，再利用奇偶性的定义即可求证．
21.【答案】解：Ⅰ由题意得，
所以，解得；
Ⅱ由Ⅰ得，
则，，
．
【解析】本题考查了对数运算与对数函数的性质应用问题，是基础题．
Ⅰ根据对数函数恒过定点，列出方程求得的值；
Ⅱ利用、表示即可．
22.【答案】解：原式
；
由，可得，
则，
所以．

【解析】本题考查了对数的运算性质，考查了有理指数幂的化简与求值，对于的解答，关键是运用了平方运算，是基础的计算题．
利用对数的运算和性质可解；
把给出的已知条件进行两次平方运算，然后分别代入要求解的式子即可得到答案．
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