3.2.2 奇偶性 同步练习（含解析）

3.2.2 奇偶性
我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
已知函数是奇函数，且在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
已知是偶函数，且其定义域为，则( )
A. B. C. D.
若函数为奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
定义域是的函数满足，当时，若时，有解，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. ， D. ，
若函数是奇函数，则结论正确的是( )
A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数
C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数
下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有( )
A. 为偶函数
B. 为奇函数
C. 的图像关于直线对称
D. 为偶函数
函数，，则
已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ．
奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 ．
已知奇函数满足，当时，，则当时，函数的解析式是 ．
已知函数．
求函数的定义域．
判断的奇偶性并证明．
函数是定义在上的奇函数，当时，．
计算，；
当时，求的解析式．
已知定义在上的函数，满足：
；
任意的，，．
求的值；
判断并证明函数的奇偶性．
已知函数
当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
探究函数的奇偶性，并证明．
已知函数对任意实数、恒有，当时，，且．
判断的奇偶性；
判断函数单调性，求在区间上的最大值；
若对所有的恒成立，求实数的取值范围．
已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．
求函数在上的解析式；
解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和函数的奇偶性，属于基础题．
首先求解函数的定义域及奇偶性，再研究和时，函数值的正负情况，由排除法可得结论．
【解答】
解：函数的定义域为，且满足，
为奇函数，
当时，，故排除，
当时，，故排除，
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：函数是奇函数，在上是减函数，
在上也是减函数，
在区间上的值域为，
最大值为，最小值为，
在区间上也是减函数，且最大值为，
最小值为，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，具有奇偶性的函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题．
利用偶函数的定义域关于原点对称，区间的端点值互为相反数求得的值，再利用求出的值，即可求出的值．
【解答】
解：函数是偶函数，且其定义域为，
定义域关于原点对称，
，解得，
，
再由得恒成立，故，
故，
故选 A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用奇函数的对称性求参数，属于一般题．
设，则，结合时，，可求，即可求解．
【解答】
解：函数为奇函数，
设，则，
时，，
，
，
，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知函数是上的奇函数，画出函数在上的大致图象，得到当时，，由题意可知，从而求出的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是较难题．
【解答】
解：定义域是的函数满足，
函数是上的奇函数，
又当时，
利用函数的奇偶性画出函数在上的大致图象，如图所示：，
当时，，
若时，有解，
，即，
解得或，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由奇函数的性质依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的定义和判断，注意函数奇偶性的定义，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，函数是奇函数，则，
对于，函数，其定义域为，有，
即函数为偶函数，A正确，
对于，函数，其定义域为，有，
即函数为偶函数，B错误，
对于，函数，其定义域为，有，
即函数为奇函数，C错误，
对于，函数，其定义域为，有，
即函数是奇函数，D正确，
故选AD．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题．
依据奇偶性和单调性的定义，对选项中函数逐个分析判断即可．
【解答】
解：中是对称轴为，开口向上的抛物线，是偶函数，
在上单调递增，故在上也单调递增，A正确
中反比例函数是奇函数，不是偶函数，B错误
中函数是偶函数，且在时，，
它在上单调递减，在单调递增，故 C错误
中函数是偶函数，在时化简后即为，在上单调递增，故D正确．
故选AD．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性和对称性的判断，考查推理能力，是较难题．
根据为奇函数得出，然后根据关于直线对称得出，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
因为的图像关于直线对称，
所以，
项：，
则函数为偶函数，A正确；
项：，不是奇函数，B错误；
项：因为，
所以，
则的图像关于直线对称，C正确；
项：因为，
所以，
则函数为偶函数，D正确，
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数奇偶性的运用，解题的关键是要构造出奇函数进行变换求值即可，属于基础题．
根据可构造则易得为奇函数再根据奇函数的性质可得就可求得．
【解答】
解：，
令，则由于定义域为关于原点对称，
且，
为奇函数，
，
，
，
故答案为．

10.【答案】或
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性．
【解答】
解：偶函数在上为增函数，，
不等式等价为，
即，即或，
即或，
不等式的解集为或
故答案为：或

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的性质应用．
根据题意，由的奇偶性和对称性分析可得，即可得是周期为的周期函数，由此可得与的值，相加即可得答案．
【解答】
解：根据题意，奇函数定义域为，则，且
又由为偶函数，即的图象关于直线对称，
则有，
综合可得，
则有，
故函数是周期为的周期函数，
故，
，
故，
故答案为：．

12.【答案】当是偶数时，；当是奇数时，．
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合应用．
由题意，函数的周期为，时，，分为奇数、偶数讨论，即可得出结论．
【解答】
解：由，可知奇函数的周期为．
时，，，则，
时，，，；
时，，，．
故答案为：当是偶数时，；当是奇数时，．

13.【答案】解：由，得，
即的定义域；
为偶函数．
证明如下：
由知函数定义域关于原点对称，
且，
为偶函数．

【解析】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断和证明，利用相应的定义是解决本题的关键．
根据函数成立的条件进行求解即可；
根据函数奇偶性的定义进行证明．
14.【答案】解：函数是定义在上的奇函数，
，
时，，
，
当时，，
．
【解析】本题考查了分段函数解析式的求法，考查了函数的求值，是中档题．
根据奇函数的性质可知，由及已知函数解析式可求
设，得到，然后借助于时的解析式及可求函数的解析式
15.【答案】解：依题意，．
函数为偶函数；
证明：由知，
所以，即，
所以，
又因为的定义域为，
所以函数为偶函数．

【解析】本题考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
根据，则可得答案；
由题意，可推出，又的定义域为，则可证得为偶函数．
16.【答案】解：当时，，
，令，
则
，
因为，
所以，，，
所以，即，
故，即，
所以在区间上单调递增
证明如下：的定义域是，关于原点对称，
当时，，
因为，
所以是偶函数
当时，因为，
所以，
因为，
所以，
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
综上所述，当时，是偶函数；
当时，既不是奇函数，也不是偶函数．

【解析】本题考查利用函数的奇偶性定义的应用，判断并证明函数的单调性，属于中档题．
利用单调性的定义，任取，且，比较和即可得单调性；
判断函数的定义域关于原点对称，然后分别分析当时，当时的与的关系，得到奇偶性的判断．
17.【答案】解：取，则，
，
取，则，
对任意恒成立，
为奇函数；
任取，且，
则，，
，
又为奇函数，
故为上的减函数．
，，
，
，
故在上的最大值为；
在上是减函数，
，
，对所有，恒成立．
，恒成立
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
实数的取值范围为．
【解析】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
取可求得，取可得与的关系，由奇偶性的定义即可判断
任取，且，由已知可得，从而可比较与的大小关系，得到即可， 再利用单调性求最值；
由条件可知对恒成立，列出不等式组解出的范围
18.【答案】解：根据题意，为定义在上的奇函数，则，
设，则，则，
又由为上的奇函数，则，
则；
当时，
易知函数在上为增函数，
又为定义在上的奇函数，
则在上也为增函数，
，，
当时，，
，成立；
当时，，
则或，解得；
所以，不等式解集为．

【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，以及不等式求解，属于拔高题．
由题意利用函数为奇函数，求得当时函数的解析式，从而得出结论．
由题意，可得在上也为增函数，从而根据，，分类讨论，求得不等式的解集即可．
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