人教版九年级上册24.1.2_垂直于弦的直径(共18张PPT)

(共18张PPT)
我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
拱桥是圆弧拱
拱高7.2米
C
D
跨度37.4米
A
B
O
你能求出赵洲桥
主桥拱的半径吗？
r
拱高：弧的中点到弦的距离
跨度：弧所对的弦的长
实践探究
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，
圆有无数多条对称轴　
任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活 动 二
1、点A与点B 有什么位置关系？
猜一猜
2、你能发现图中有哪些相等线段和弧吗？为什么？
线段： AE=BE
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
点A与点B 关于CD对称
1、找出圆心，记为O
2、作出一条直径，与⊙O的交点为C，D
3、圆上找一点A，过点A作AB⊥CD,交⊙O于点B ，
垂足为E
·
O
A
B
C
D
E
活 动 二
1、点A与点B 有什么位置关系？
猜一猜
2、你能发现图中有哪些相等线段和弧吗？为什么？
线段： AE=BE
⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
点A与点B 关于CD对称
1、找出圆心，记为O
2、作出一条直径，与⊙O的交点为C，D
3、圆上找一点A，过点A作AB⊥CD,交⊙O于点B ，
垂足为E
·
O
A
B
C
E
B
O
A
C
D
E
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦, CD⊥AB，垂足为E．
证明：AE=BE
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴∠OEA=∠OEB
∵ OE=OE , OA=OB
∴ OAE≌ OBE（SAS）
∴ AE=BE
三线合一
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
② CD⊥AB
① CD是直径（过圆心）
条件
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
方法提炼：
涉及到圆中半径，弦长，弦心距的计算时，
方法:构造________三角形
常作辅助线: 连_______或作弦的___
定理:_____定理和______定理
勾股
垂径
半径
直角
垂线
作OC ⊥AB
交圆于点C，垂足为D
。
0
实际应用
拱高
已知：弦长
求：半径R
D
C
CD=7.2
AB=37.4
解：设圆心为O，
垂径
定理
解得：R≈27．9（m）
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
·
O
A
B
C
D
E
③AE=BE,
∵ ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理：
·
O
A
B
C
D
E
③AE=BE,
⑤ AC=BC,
⌒
⌒
④AD=BD.
⌒
⌒
② CD⊥AB
① CD是直径
试一试：你能从中选出其中两个作为条件，剩下三个作为结论组成一个真命题吗？如果能，有几个 请分别写出来.
·
O
A
B
C
D
E
③AE=BE,
∵ ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
推论：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
②CD⊥AB,
∵ ① CD是直径
③ AE=BE
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理：
课堂小结
今天你主要学到了什么？
方法:构造________三角形
常作辅助线: 连_______或作弦的___
定理:_____定理和______定理
勾股
垂径
半径
直角
垂线
1、垂径定理
2、垂径定理的推论