第三章 圆锥曲线的方程章末测试
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则△PF1F2的周长是( )
A．4＋2 B．4＋2
C．8 D．10
2、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3、直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4、如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )
A. B.
C. D.
5、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
6、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
7、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8、已知椭圆C：＋＝1(b2<6)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为－，则b2的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9、已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法不正确的有( )
A．△PMF周长的最小值为2
B．若＝λ，则最小值为2
C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2
D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
11、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
12、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断错误的是( )
A．△OMF可能是等边三角形
B．△OMF可能是等腰直角三角形
C.＝1＋
D.－|PF|＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为________．
14、直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是_________.
15、已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
16、已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
18、已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
19、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
20、设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
21、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形ABF2F1的面积．
22、如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．第三章 圆锥曲线的方程章末测试
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则△PF1F2的周长是( )
A．4＋2 B．4＋2
C．8 D．10
2、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3、直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4、如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )
A. B.
C. D.
5、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
6、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
7、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8、已知椭圆C：＋＝1(b2<6)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为－，则b2的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9、已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法不正确的有( )
A．△PMF周长的最小值为2
B．若＝λ，则最小值为2
C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2
D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
11、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
12、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断错误的是( )
A．△OMF可能是等边三角形
B．△OMF可能是等腰直角三角形
C.＝1＋
D.－|PF|＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为________．
14、直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是_________.
15、已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
16、已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
18、已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
19、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
20、设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
21、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形ABF2F1的面积．
22、如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
第三章 圆锥曲线的方程章末测试(答案)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，若点P是椭圆C上的一个动点，则△PF1F2的周长是( A )
A．4＋2 B．4＋2
C．8 D．10
2、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
3、直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( D )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4、如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( D )
A. B.
C. D.
5、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( A )
A. B.
C. D.
6、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
7、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝( A )
A．6 B．5 C．4 D．3
8、已知椭圆C：＋＝1(b2<6)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为－，则b2的值是( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9、已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( ACD )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
10、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法不正确的有( ABC )
A．△PMF周长的最小值为2
B．若＝λ，则最小值为2
C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2
D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
11、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是( ABC )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
12、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断错误的是( ABD )
A．△OMF可能是等边三角形
B．△OMF可能是等腰直角三角形
C.＝1＋
D.－|PF|＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，则m的值为____3或____．
14、直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________(1，3)∪(3，＋∞)____
15、已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为___3_____．
16、已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
18、已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．
解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)．
由
消去y化简得3x2－2mx－m2＝0.
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2＞0，
得m≠0.
因为x1x2＝－，·＝x1x2＋(2x1)·(－2x2)＝－3x1x2，
所以m2＝3，即m＝±.
19、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，
因为＝9，所以
可得
又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝(－)2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
20、设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝， ①
y1y2＝－， ②
因为F1(－1，0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1， ③
由①②③可得B，
则kBF2＝或kBF2＝－，
所以直线BF2的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0.
21、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形ABF2F1的面积．
解：(1)由题意知2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，
所以b2＝a2－c2＝5，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以＝(－2－x1，－y1)，＝(2－x2，－y2)，
由＝2，得x1＋2＝2(x2－2)，y1＝2y2.
延长AB交x轴于H，因为＝2，
所以AF1∥BF2，且|AF1|＝2|BF2|.
所以线段BF2为△AF1H的中位线，
即F2为线段F1H的中点，所以H(6，0)．
设直线AB的方程为x＝my＋6，
代入椭圆方程，得5(my＋6)2＋9y2＝45，
即(5m2＋9)y2＋60my＋135＝0.
所以y1＋y2＝－＝3y2，
y1·y2＝＝2y，
消去y2，得m2＝，结合题意知m＝－.
S四边形ABF2F1＝S△AF1H－S△BF2H＝|F1H|y1－|F2H|y2＝4y1－2y2＝8y2－2y2＝6y2＝－＝.
22、如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
由|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2.
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，
不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
