小练1
姓名： 时间：30分钟
1、已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：C
解析：当时，；当时，.
因此抛物线的焦点可为，.
①当焦点为时，设标准方程为，且，；
②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.
2、若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.
3、（多选）已知方程，则( )
A.当时，方程表示椭圆 B.当时，方程表示双曲线
C.当时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线
答案：BD
解析：当时，原方程整理得，若m，n同负，或，则方程不表示椭圆，A错误；当时，与异号，方程表示双曲线，B正确；当时，方程是，当时，方程无解，故C错误；无论m、n为何值，方程都不可能表示抛物线，D正确.故选BD.
4、抛物线的焦点到其准线的距离为__________.
答案：10
解析：抛物线,,则焦点到准线的距离为10.
5、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为_________.
答案：6
解析：双曲线的方程为，
，，可得，
因此双曲线的右焦点为，
抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解得.
6、求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）长半轴长，离心率，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；
（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程.
答案：（1）（2）或
解析：（1）由，，得，所以，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，，
当焦点坐标为时，设抛物线的标准方程为，则，此时抛物线的标准方程是.
当焦点坐标为时，设抛物线的标准方程为，则，此时抛物线的标准方程为.
综上，顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程是或.
小练2
姓名： 时间：30分钟
1、设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
答案：B
解析：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.
2、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
答案：B
解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.
3、（多选）经过点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
答案：AD
解析：因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，当开口向右时，设抛物线方程为，则，所以，所以抛物线方程为.当开口向下时，设抛物线方程为，则，，所以抛物线方程为，故选A、D.
4、抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为______________.
答案：
解析：过点M作准线的垂线，垂足为P.设抛物线的焦点为F，依题意得，，即，解得，抛物线的方程为.
5、已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则___________.
答案：6
解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，.因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而.
6、点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是，求的最小值，并求出此时点P的坐标.
答案：的最小值是4，点P的坐标是
解析：易知抛物线的准线方程是，那么点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，如图所示，过点P作PD垂直准线，垂足为D，那么.
当M，P，D三点共线时，的值最小，且最小值为，所以的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
小练3
姓名： 时间：30分钟
1、点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A. B.或
C. D.或
答案：D
解析：当时，抛物线的标准方程为，则，，因此，焦点，准线.依题意得，，解得.
当时，抛物线方程为，则，，因此焦点，准线，依题意得，，解得（舍去）.
因此，抛物线方程为或，故选D.
2、已知抛物线的焦点为F，、是抛物线上两点，则下列结
论错误的是( ).
A.点F的坐标为
B.若直线MN过点F，则
C.若，则的最小值为
D.若，则线段MN的中点P到x轴的距离为
答案：A
解析：本题考查抛物线的定义与标准方程、抛物线的焦点弦性质.对于选项A：易知点F的坐标为，故A错误；对于选项B：由题意知直线MN的斜率必然存在，所以若直线MN过焦点F，则可设直线MN的方程为，由得，则，，故B正确；对于选项C：若，则直线MN过焦点F，则的最小值即为抛物线的通径长，最小值为，故C正确；对于选项D：抛物线的焦点为，准线方程为，过点M，N，P分别作准线的垂线，垂足分别为，，（图略），所以，，所以，所以，所以线段MN的中点P到x轴的距离为，故D正确.
3、（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为( )
A. B. C.2 D.3
答案：BC
解析：根据题意：抛物线C：的焦点为，直线过抛物线C：的焦点，所以，或，，故选BC.
4、若抛物线过点，则抛物线的标准方程为______________.
答案：或
解析：由在第二象限，得抛物线的开口向上或开口向左，设其标准方程为或.将的坐标代入得或，解得或，因此所求抛物线的标准方程为或.
5、一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.
答案：
解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，，，，抛物线方程为.
6、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于两点，过两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求面积的最小值．
答案：解：（1）设抛物线的方程为.
直线经过抛物线的焦点，，解得.
抛物线的方程为.
（2）设、，由得，
因为， ，故
由得到，则，抛物线C经过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，同理得到抛物线C经过点B的切线方程是.
解方程组得，所以.
所以到直线的距离，
的面积，
因为，所以.当时，.的面积的最小值为9.
小练4
姓名： 时间：30分钟
1、若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案：D
解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，又，.
2、抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则( )
A.2 B. C.8 D.4
答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，，.又的周长为，
，.
3、（多选）设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
答案：BC
解析：设，易知，则，如图所示.
则，.
抛物线方程为，且，
又B在抛物线上，，因此，解得.故选BC.
4、若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为___________.
答案：
解析：设点，，，
或（舍去），.
到抛物线的准线的距离.
点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，
点M到该抛物线焦点的距离为，故答案为.
5、已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上.若满足,则焦点F的坐标为_______________.
答案：
解析：通解：由题意可知,抛物线的准线l的方程为,所以点在准线上,连接,则由抛物线的定义可知,.由,可知为等边三角形,则.设准线l与x轴交于点K,则.由,得,所以,解得,所以点F的坐标为.
6、已知抛物线与圆交于点,点N在x轴的上方,.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若平行于x轴的直线l交直线于点P,交抛物线C于点Q,且,求直线的方程.
答案：(1)(2)
解析：(1)由抛物线与圆的对称性及,点N在x轴的上方,得点N的纵坐标为p.
代入,解得,则点.
将点N的坐标代入,解得.
所以抛物线C的方程为.
(2)由(1)知,,
所以直线的方程为.
设直线l的方程为,
则,
所以.
由,得,
所以点Q的坐标为.
设直线的斜率为k,则,
所以直线的方程为.
即.小练1
姓名： 时间：30分钟
1、已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
2、若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ).
A. B. C. D.
3、（多选）已知方程，则( )
A.当时，方程表示椭圆 B.当时，方程表示双曲线
C.当时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线
4、抛物线的焦点到其准线的距离为__________.
5、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为_________.
6、求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）长半轴长，离心率，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；
（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程.
小练2
姓名： 时间：30分钟
1、设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
2、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
3、（多选）经过点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4、抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为______________.
5、已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则___________.
6、点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是，求的最小值，并求出此时点P的坐标.
小练3
姓名： 时间：30分钟
1、点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A. B.或
C. D.或
2、已知抛物线的焦点为F，、是抛物线上两点，则下列结
论错误的是( ).
A.点F的坐标为
B.若直线MN过点F，则
C.若，则的最小值为
D.若，则线段MN的中点P到x轴的距离为
3、（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为( )
A. B. C.2 D.3
4、若抛物线过点，则抛物线的标准方程为______________.
5、一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.
6、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于两点，过两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求面积的最小值．
小练4
姓名： 时间：30分钟
1、若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2、抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则( )
A.2 B. C.8 D.4
3、（多选）设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
4、若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为___________.
5、已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上.若满足,则焦点F的坐标为_______________.
6、已知抛物线与圆交于点,点N在x轴的上方,.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若平行于x轴的直线l交直线于点P,交抛物线C于点Q,且,求直线的方程.小练 1
姓名： 时间：30分钟
1、已知抛物线的焦点在直线 x 2y 4 0上，则此抛物线的标准方程是( )
A. y2 16x B. x2 8y
C. y2 16x或 x2 8y D. y2 16x或 x2 8y
2、若抛物线 y2 2px上的点M 2, y0 到该抛物线焦点的距离为 3，则抛物线的方程是( ).
A. y2 2x B. y2 4x C. y2 2x D. y2 4x
3、（多选）已知方程mx2 ny2 1(m,n R)，则( )
A.当mn 0时，方程表示椭圆 B.当mn 0时，方程表示双曲线
C.当m 0时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线
4、抛物线 y2 20x的焦点到其准线的距离为__________.
2 2
5、若抛物线 y2 2px x y 的焦点与双曲线 1的右焦点重合，则实数 p的值为_________.
4 5
6、求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1 3）长半轴长 a 10，离心率 e ，焦点在 x轴上的椭圆的标准方程；
5
（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 x y 2 0上的抛物线的标准方程.
小练 2
姓名： 时间：30分钟
1、设 F为抛物线C : y2 4x的焦点，点 A在 C上，点 B(3,0)，若 | AF | | BF |，则 | AB | ( )
A.2 B. 2 2 C.3 D.3 2
y22、抛物线 y2 4x的焦点到双曲线 x2 1的渐近线的距离是( )
3
A. 1 B. 3 C.1 D. 3
2 2
3、（多选）经过点 P 4, 2 的抛物线的标准方程为( )
A. y2 x B. y2 x C. y2 8x D. x2 8y
4、抛物线 y2 2px(p 0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则此抛物线
的方程为______________.
5、已知 F是抛物线C : y2 8x的焦点，M是 C上一点，FM的延长线交 y轴于点 N.若 M
为 FN的中点，则 | FN | ___________.
6、点 P 是抛物线 y2 8x上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点 M 的坐标是 (2,3) ，求
| PM | | PF |的最小值，并求出此时点 P的坐标.
小练 3
姓名： 时间：30分钟
1、点M (5,3)到抛物线 y ax2 (a 0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( )
A. y 12x2 B. y 12x2 或 y 36x2
C. y 36x2 D. y 1 x2 y 1或 x2
12 36
2、已知抛物线 x2 1 y的焦点为 F，M (x1, y1)、 N（x2 , y2 )是抛物线上两点，则下列结2
论错误的是( ).
A.点 F 1 的坐标为 ,08
B.若直线 MN 1过点 F，则 x1x2 16
C.若MF NF，则 MN 1的最小值为
2
D.若 MF 3 NF ，则线段 MN 5的中点 P到 x轴的距离为
2 8
3、（多选）已知抛物线 C：x2 8y的焦点为 F，直线 y kx 2与抛物线 C交于 M，N两点，
且MF FN， |MN | 9，则 的取值可以为( )
A. 1 B. 1 C.2 D.3
3 2
4、若抛物线过点 P( 1,3)，则抛物线的标准方程为______________.
5、一条光线从抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F射出，经抛物线上一点 B反射后，反射光线
经过点 A(5,4)，若 | AB | | FB | 6，则抛物线的标准方程为__________.
6 3、已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在 y轴的正半轴上，直线 l :mx y 0经过抛
2
物线的焦点.
（1）求抛物线 C的方程；
（2）若直线 l与抛物线 C相交于 A,B两点，过 A,B两点分别作抛物线 C的切线，两条切线
相交于点 P，求△ABP面积的最小值．
小练 4
姓名： 时间：30分钟
1 x
2 y2
、若抛物线 y2 2px(p 0)的焦点是椭圆 1的一个焦点，则 p ( )
3p p
A.2 B.3 C.4 D.8
2 2
2、抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F x y，其准线与双曲线 1的渐近线相交于 A、B两
4 2
点，若△ABF的周长为 4 2，则 p ( )
A.2 B. 2 2 C.8 D.4
3、（多选）设抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F.点 M在 y轴上，若线段 FM的中点 B在抛
3 2
物线上，且点 B到抛物线准线的距离为 ，则点 M的坐标为( )
4
A. (0, 1) B. (0, 2) C. (0,2) D. (0,1)
4、若抛物线 y2 2x上的一点 M到坐标原点 O的距离为 3，则点 M到该抛物线焦点的距
离为___________.
5、已知抛物线 C : y2 2px(p 0) p的焦点为 F,点 P(2,m) 在抛物线 C 上.若 Q( ,m) 满足
2
| PF | |QF | ,则焦点 F的坐标为_______________.
6、已知抛物线C : y2 2px(p 0)与圆 x2 y2 5交于点M ,N ,点N在 x轴的上方, |MN | 2p .
(1)求抛物线 C的方程.
uuur uuur
(2)若平行于 x轴的直线 l交直线OM 于点 P,交抛物线 C于点 Q,且OP 2OM ,求直线QM 的
方程.
