第三章 圆锥曲线的方程章末测试
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、化简方程＋＝10的结果是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
3、顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．y2＝x
C．y2＝－x或x2＝y D．y2＝x或x2＝－y
4、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
5、若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．11 B．9
C．5 D．3
6、若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2 C．2 D．4
7、已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．12
8、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得·＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9、对于曲线C：＋＝1，下面四个说法不正确的是( )
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的充分不必要条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
10、已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( )
A.渐近线方程为y＝±x
B.渐近线方程为y＝±x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
12、已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2＜90°
C.直线BE的斜率为k
D.S四边形AF1BF2∈(0，4]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
14、已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝________．
15、已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
16、设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若＝2，则＋＝_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、求满足下列各条件的曲线的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)的椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，求双曲线C的标准方程.
(3)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
18、如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
19、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
20、如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
21、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
22、已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.第三章 圆锥曲线的方程章末测试(答案)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、化简方程＋＝10的结果是( C )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( C )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
3、顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝－x B．y2＝x
C．y2＝－x或x2＝y D．y2＝x或x2＝－y
4、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )
A．13 B．12 C．9 D．6
5、若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝( B )
A．11 B．9
C．5 D．3
6、若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( B )
A．1 B．2 C．2 D．4
7、已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( D )
A．6 B．15
C．20 D．12
8、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得·＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为( D )
A. B. C．2 D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9、对于曲线C：＋＝1，下面四个说法不正确的是( ABC )
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的充分不必要条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
10、已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( BD )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则( BC )
A.渐近线方程为y＝±x
B.渐近线方程为y＝±x
C.∠MAN＝60°
D.∠MAN＝120°
12、已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是( ABC )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2＜90°
C.直线BE的斜率为k
D.S四边形AF1BF2∈(0，4]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为___y2＝4x_____．
14、已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝____±____．
15、已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为___(－2，2)_____．
16、设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若＝2，则＋＝__2___．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、求满足下列各条件的曲线的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)的椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，求双曲线C的标准方程.
(3)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).
解 (1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得a＝3，
∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1，
若焦点在y轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1得b＝3，
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的离心率是e＝，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，
∴解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.
18、如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
解 (1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
19、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
20、如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，因为－＜x＜，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)
＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
21、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
解 (1)由已知可得，＝，c＝2，
所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
所以解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ的面积
SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2＝2.
k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
22、已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明 ∵BM⊥x轴，
∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根据题意显然有x1≠0.
若要证A为BM的中点，
只需证2yA＝yB＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.
设直线MN：y＝kx＋(k≠0)，
联立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考虑Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
由根与系数关系可知：x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋.
将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝yB＋y1恒成立，
∴A为BM的中点，得证.
