三角函数测试题答案
1.C
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】
.
故选:C
2.B
【分析】利用函数的周期公式即可求解.
【详解】由题意可知,,所以函数的最小正周期为.
故选:B.
3.B
【分析】利用三角函数诱导公式化简可得,继而将化为,根据三角函数齐次式法求值,可得答案.
【详解】由题意得
,
故选:B.
4.A
【分析】根据三角函数定义可求得,再利用二倍角正弦公式即可求得答案.
【详解】因为角的终边过点,则 ,
所以 ,故,
故选:A.
5.A
【分析】设大正方形的边长为,则直角三角形的两直角边分别为,分别求出,再根据可求得,再根据即可得解.
【详解】解:设大正方形的边长为,则直角三角形的两直角边分别为,
故,
则,所以,
又为锐角,则,
所以.
故选:A.
6.A
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件,结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】,
,
.
.
故选:A
7.A
【分析】首先由条件判断函数关于点对称,代入得,即可求解.
【详解】由条件可知,函数关于点对称,
则,,得,,
当,,
故选:A
8.D
【分析】求得,换元转化为在上恰有5个不相等的实根,结合的性质列出不等式求解.
【详解】,令,由题意在上恰有5个零点,即在上恰有5个不相等的实根,由的性质可得,解得.
故选:D.
9.ABD
【分析】利用函数图像先把解析式求出来,然后逐项分析即可
【详解】由图像可知函数 的最大值为2,最小值为,所以,
,
又
又
所以
又,所以
所以,故A正确,
将的图像向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度后得
,故B选项正确,
由
所以的图像关于点对称,故C错误.
由
即
所以选项D正确
故选:ABD.
10.CD
【分析】根据正弦函数的性质,分别求出函数的周期,对称轴,对称中心和在上的值域即可求解.
【详解】因为,所以最小正周期为,故A选项错误;
令,解得:,令,
所以图象不关于点对称,故选项B错误;
令,解得:,所以图象关于直线对称,故选项C正确;
当时,,所以,故选项D正确,
故选:CD.
11.AD
【分析】代入,结合求解函数解析式,根据正弦型函数的性质判断ABC ,再结合,通过平移变换判断D.
【详解】由题意,函数,即,解得,又,故,即,
即,
选项A,,正确;
选项B,,错误;
选项C,当,结合的单调性,函数先单调递减,后单调递增,错误;
选项D,向右平移个单位可得,正确.
故选:AD
12.ACD
【分析】由对称轴为,且求出函数解析式,再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.
【详解】由函数的图象的一条对称轴为,
得,因为,
所以,则,所以周期,A项正确;
将函数的图象向左平移,
得,
显然的图象不关于原点对称,B项错误;
由,取,得,
即,是函数的一个单调递增区间,又,
所以函数在区间上单调递增,C项正确;
由,得,解得,由,得,因为,所以,所以函数在区间上有67个零点,D项正确.
故选:ACD.
13.##1.25
【分析】利用弦切互化法可求三角函数式的值.
【详解】.
故答案为:.
14.
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值,再利用余弦两角和公式化简,把得到的,代入即可.
【详解】解:若,
故答案为:.
15.
【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理,进而根据求得答案.
【详解】解:
故答案为:.
16.
【分析】根据分段函数解析式,将代入求值即可.
【详解】由解析式知:,
而,故.
故答案为:
17.(1)
(2)
【分析】(1)利用平方关系计算可得;
(2)首先由商数关系求出,再由两角和的正切公式计算可得.
【详解】(1)解:因为,
所以.
(2)解:由(1)可得,
所以.
18.(1);
(2).
【分析】(1)直接列不等式即可求得;(2)先求出,利用二倍角公式代入求得.
【详解】(1)要使函数有意义,只需,解得:.
所以的定义域为.
(2)因为是第四象限的角,且,
所以,解得:.
所以.
19.(1)函数的最大值为,最小正周期
(2)
【分析】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,根据函数的性质即可求出结果;
(2)根据(1)的解析式,将角求解出来,进而求出结果.
【详解】(1)因为函数
所以函数的最大值为,最小正周期.
(2)因为锐角满足,
由(1)可知,所以,
又因为,所以,故,解得:,
所以.
20.(1),
(2)最大值是,最小值是
【分析】(1)由三角函数的图象与性质求解,
(2)由整体代换法求解,
【详解】(1)由图知,,,
,
,
由得,
故的递增区间是
(2)时,,,
在区间上的最大值是,最小值是
21.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式展开,整理变形即可得证;
(2)根据角的取值范围和同角三角函数的关系,先求出,然后再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】(1)∵,,
∴ ①,
②,
②-①得,
则.
(2)∵,
∴,
则.
22.(1)2
(2)在上的单调递增区间为,最小值为
【分析】(1)根据函数的初相为,得到,又由对任意的实数x都成立,化得,根据确定的最小值;
(2)由函数左平移个单位,再把横坐标伸长为原来的4倍后,得到函数解析式,从而可求函数的单调递增区间和最小值.
【详解】(1)∵函数的初相为,∴,∴,.
又对任意的实数x都成立,则有恒成立,,,
即,又,∴当时,有最小值为2.
(2)由(1)可知,函数左平移个单位后,得到的函数
纵坐标不变,横坐标伸长为原来的4倍,得到.
,整理可得,∴在上的单调递增区间为.
由,可得,∴当时,函数取得最小值.2022-2023学年度第一学期三角函数测试题
高一学年 数学科目
时间:120分钟
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.( )
A. B. C. D.—
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边过点,则的值为( )
A. B. C. D.
5.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为,小正方形的面积为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知,则( )
A. B. C. D.
7.若将函数的图像向右移后关于原点中心对称,则的可能是( )
A. B. C. D.
8.已知函数,将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,已知在上恰有5个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)
9.已知函数的部分图像如图所示,将的图像向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到函数的图像,则( )
A. B.
C.的图像关于点对称 D.在上单调递减
10.已知函数,下列说法正确的是( )
A.最小正周期为 B.图象关于点对称
C.图象关于直线对称 D.在区间的值域为
11.已知函数的一个零点为,则( )
A. B.的最大值为2
C.在上单调递增 D.的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
12.已知函数的图象的一条对称轴为,其中为常数,且,则以下结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上有67个零点
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知,则________.
14.若,则____________.
15.函数的最小正周期____________.
16.设函数,则________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,说明过程或演算步骤)
17(本题10分).已知
(1)求的值;
(2)求的值.
18(本题12分).已知函数.
(1)求的定义域;
(2)设是第四象限的角,且,求的值.
19(本题12分).设.
(1)求的最大值及最小正周期;
(2)若锐角满足,求的值.
20(本题12分).已知函数的部分图象如图所示,其中的图像与轴的一个交点的横坐标为.
(1)求这个函数的解析式,并写出它的递增区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
21(本题12分).已知.
(1)求证:;
(2)若已知,求的值.
22(本题12分).函数的初相为,且对任意的实数x都成立.
(1)求的最小值;
(2)在(1)的条件下,函数左平移个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原米的4倍,得到函数的图象,求函数在上的单调递增区间以及最小值.