圆锥曲线单元测试题答案
1．A
【分析】令即可求渐近线方程.
【详解】令
得
即双曲线的渐近线方程为
故选：A.
2．C
【分析】根据椭圆的标准方程判断求解．
【详解】由题意，解得，
故选：C．
3．B
【分析】将向量式坐标化，然后结合抛物线定义可得.
【详解】设
抛物线焦点坐标，准线方程：x=，
所以
∵，
∴，即，
由抛物线定义可得，，
，
∴
故选：B．
4．C
【分析】由椭圆方程求出和的坐标，由对称性设出，的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出的纵坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率的方程，即可得到该椭圆的离心率.
【详解】
由题意得，椭圆（，为半焦距），
的左焦点为，右顶点为，则，，
抛物线于椭圆交于，两点，
，两点关于轴对称，可设，，
四边形是菱形，
，，则，
将代入抛物线方程得，，
，
则不妨设，
再代入椭圆方程，
化简得，
由，即有，
解得或（舍去），
故选：C.
5．D
【分析】作图分析，判断点P在双曲线的外部，则符合条件的直线有和渐近线平行的直线还有切线，由此可得答案.
【详解】如图示，双曲线的渐近线为，点在双曲线外部，
则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线 ，
还有两条和双曲线相切的直线，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条，
故选：D.
6．A
【分析】根据直线的垂直关系求出直线l的斜率，即可求得直线的点斜式方程，可得答案.
【详解】由题意可知点D的坐标为，故直线的斜率为1，
因为 ，所以直线l 的斜率为,
则l方程为，即，
故选：A.
7．B
【分析】求出直线所在的直线方程为，再求出点的纵坐标，即得解.
【详解】抛物线的焦点为且，
所以直线所在的直线方程为，
与抛物线方程联立有，
解得，，
因为点是线段与抛物线的交点，所以点的纵坐标为，
所以．
故选：B．
8．A
【分析】根据数量积的运算律得到，再由直线的斜率可得的正切值，进而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得，的关系，进而求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解：因为，而，
所以，可得，
即，
因为在第二象限，由双曲线的定义可得，
所以，
过点且斜率为的直线，可得，
又，解得或（舍去），
在中，由余弦定理可得：，
整理可得，又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线为；
故选：A．
9．BC
【分析】对A选项直接由抛物线方程求出焦点坐标即可判定，对于B选项设线，设点得到，利用基本不等式即可得到其最小值，对于C选项利用B选项中得到的结论，即可证明即可证明平行，对于D选项，对三个内角进行判定其向量点乘是否为0或是斜率乘积是否为即可.
【详解】对A选项，，，，即，故A错误,
对B选项，设直线方程为，联立抛物线得，则，，两式相乘得，，当且仅当时等号成立，故，故B正确；
对C选项，,令，则，故,因为,故一定平行于轴，故C正确，
对D选项，因为,故不为直角,
两式作差得，故，即，
,故不为直角,同理故不为直角，故D错误，
故选：BC.
10．ACD
【分析】对于A，将双曲线方程化为标准方程，易得，从而可求离心率；
对于B，利用双曲线方程及两点距离公式，将问题转化为二次函数的最值，从而得解；
对于C，利用双曲线的几何性质易得的最小值；
对于D，利用点线距离公式即可求得焦点到渐近线的距离.
【详解】对于A，由双曲线得，则，故，即，故双曲线离心率为，故A正确；
对于B，设，则或，则，即，
所以，
故当时，，故，故B错误；
对于C，易知，故C正确；
对于D，由选项A知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】设点坐标后由平面向量数量积的坐标运算得的取值范围，再由离心率的概念求解，
【详解】设点，，
因为，所以，即，
结合可得，所以.
故选：AC
12．AC
【分析】根据椭圆的方程，直线与曲线之间的位置关系，以及焦点三角形面积的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若曲线：表示椭圆，则且，故正确；
对：当时，曲线方程为：，联立直线可得：
，可得，可得直线与曲线无交点，故错误；
对：当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，，，
又，故可得，又，
故可得，故△的面积，故正确；
对：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
当直线斜率不为零时，若，设的坐标为，
故，故错误；
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程的关系，以及点差法，焦点三角形面积的求解；处理问题的关键是要充分掌握圆锥曲线中常用方法，属综合中档题.
13．
【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离
【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.
故答案为：
14．
【分析】先确定点的轨迹是圆，联立圆的方程及椭圆方程，解出，得到不等式即可求解.
【详解】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，
设，则以为直径的圆为，
，解得，即，
所以，解得，
又，故.
故答案为：
15．3
【分析】依题意，A，B两点关于原点对称，运用双曲线方程作差即可解题.
【详解】据题意，点A，B关于原点对称，设点，，，
则，，
两式相减，得，则，因为，
所以；
故答案为：3.
16．
【分析】建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数之间的函数关系，进而求其值域即可.
【详解】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：
设过点三点的双曲线方程为：，
根据题意可得：，设两点坐标分别为，
则，
由可得：，解得，
因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得：
，则，将其代入，
整理化简可得：，即，
整理得：，又因为，
故可得，则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解决问题的关键是根据题意，建立离心率与参数之间的关系，同时要注意计算的准确度，属中档题.
17．(1)时，抛物线方程为；时，抛物线方程为
(2)时；时
【分析】（1）根据在第一或第四象限进行分类讨论，结合抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.
（2）通过点坐标求得的值.
【详解】（1）依题意，直线的倾斜角为60°，且到抛物线准线的距离为，
当在第一象限时，点的坐标为，即，
，抛物线方程为.
当在第四象限时，点的坐标为，即，
，抛物线方程为.
（2）由（1）得，当时，;
当时，.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求解即可；
（2）根据的长度求得，结合弦长公式，即可求得结果.
【详解】（1）由椭圆的离心率为可得：；
对双曲线，其实轴长为，故可得，
又，解得，
则椭圆的标准方程为：;
（2）根据题意，，因为为等边三角形，
由，可得.
当直线的斜率不存在时，此时不满足题意，
故直线的斜率存在，设其为，则直线方程为，
联立椭圆方程可得：，
根据题意，显然有，设坐标分别为，
则，
，
解得，
故直线的方程为：或.
19．(1)
(2)恒过定点
【分析】（1）首先根据题干中几何条件求出椭圆的、的值，然后通过计算出的值，进而代入椭圆的标准方程中即可.
（2）首先设直线的方程为，将直线与曲线联立，利用韦达定理分别求出，及，然后设，，，利用点和点坐标求出直线的方程，化简整理后将，及值代入，化简整理后进而求出直线所过定点.
【详解】（1），，
又的周长等于，即，得，
，，.
故得：.
（2）设，，，
由于直线经过点，故设直线方程为（），
联立，得，
整理得，
，，
.
，，
，，
，
得，
整理得：，
代入得：，
，整理得：，
令，得，故直线恒过定点.
【点睛】求解定点问题常用的方法：
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.
(3)求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程来证明.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率以及焦点到渐近线的距离，求得，则方程得解；
（2）讨论直线斜率是否存在，且当直线斜率时，设出直线方程，联立双曲线方程，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，以及用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【点睛】易错点点睛：本题考查双曲线方程的求解，以及双曲线中的定值问题；第二问中，容易出错的点是没有对直线的斜率是否存在进行讨论，以及当斜率存在时不能与渐近线平行，属综合中档题.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，又椭圆的离心率为，得，求得，即可得解；
（2）先写出 的表达式然后借助韦达定理要使为定值，则，解得，再利用弦长公式和点到直线的距离表示面积.
（1）
解：由题意得，
又椭圆的离心率为，得，
于是有，
故椭圆的标准方程为；
（2）
解：设，，直线的方程为，
由整理得，
则，，
，，
，
要使为定值，则，解得或（舍），
当时，，
点到直线的距离，
面积，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最大值为．
【点睛】考查椭圆的标准方程和基本性质、直线与椭圆的综合问题，考查了椭圆中三角形面积得最值问题及定值问题，计算量较大，有一定的难度.
22．(1)椭圆方程，离心率为
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的几何意义求出即可；
（2）设，直线，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求关于的表达式，再根据向量数量积的坐标表示求出的值即可；
（3）设，则，由在椭圆上和解出与的关系，再利用向量的坐标表示求解即可.
【详解】（1）设椭圆方程为，
由题意可得，且，解得，
所以椭圆方程为，离心率.
（2）由（1）得，过点的直线与椭圆相交于两点，显然直线斜率存在，
设直线的方程为，，
由得，
依题意，得，
则，，
，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为或.
（3）由（1）得，设，
所以，，
由已知得方程组，解得，
因为，，
所以，
，
所以.2022-2023学年度第一学期圆锥曲线单元测试题
高二学年 数学科目
时间:120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点，的顶点都在抛物线上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．过点 作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ， 交于点D，点D的坐标为，则l方程为（ ）
A． B． C． D．
7．连接抛物线的焦点F与点所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，连接点A和坐标原点O的直线交抛物线准线于点D，则（ ）．
A．F坐标为 B．最小值为4
C．一定平行于x轴 D．可能为直角三角形
10．若P是双曲线上一点，C的一个焦点为F，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．离心率为 B．的最小值是3
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是2
11．已知，是椭圆C：的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知曲线（ ）
A．若曲线表示椭圆，则且
B．若时，以为中点的弦所在的直线方程为
C．当时，为曲线的焦点，为曲线上一点，且，则△的面积等于
D．若时，直线过曲线的焦点且与曲线相交于两点，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．抛物线的焦点到准线的距离是______.
14．已知椭圆的两个焦点分别为F1，，若椭圆上存在点P使得是直角，则椭圆离心率的取值范围是___________
15．设直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线，的斜率分别为，，若C的离心率为2，则__________.
16．如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．在直线坐标系中，抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若直线的倾斜角为60°，且到抛物线准线的距离为4．
(1)求的值和抛物线的方程；
(2)求的值．
18(本题12分)．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程..
19(本题12分)．已知椭圆的左 右焦点为，且，点为椭圆上一点，满足的周长等于12.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.
20(本题12分)．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
21(本题12分)．已知椭圆：的左焦点是，椭圆的离心率为，过点（）作斜率不为0的直线，交椭圆于A，两点，点，且为定值．
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值．
22(本题12分)．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线的方程；
(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．
