2022-2023学年度第一学期椭圆单元考试
高二学年 数学科目
时间:120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．“或”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．椭圆的左右焦点为，，经过的直线与椭圆相交于A，B，若的周长为8，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若的面积为9，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
6．设、分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．设，分别为椭圆（）的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
10．已知椭圆的离心率为，则的值可能为（ ）
A． B． C．5 D．25
11．已知椭圆分别为它的左 右焦点，为椭圆的左 右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的周长为15 B．若，则的面积为9
C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值
12．设椭圆的右焦点为F，直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．△ABF的周长的取值范围是
C．当时，△ABF为直角三角形
D．当时，则椭圆上到直线l的距离等于的点有三个
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．若椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则______.
14．设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_______.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且满足，，则的离心率的值为______.
16．已知是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，是的中点，为坐标原点，则下列说法正确的序号是______.
①椭圆的离心率为；
②存在点使得；
③若，则；
④与的斜率满足.
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．根据下列条件，求椭圆的离心率：
(1)长轴与短轴之比为；
(2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
18(本题12分)．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.
19(本题12分)．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，点为曲线上任一点，求的最大值．
20(本题12分)．已知在平面直角坐标系中,点,动点满足,记点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线交轨迹于两点,求弦长.
21(本题12分)．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，
①若，求直线方程；
②求面积的最大值（为坐标原点）
22(本题12分)．已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．椭圆测试题参考答案：
1．C
【分析】利用椭圆方程求解a，b，得到c，即可求出焦点坐标.
【详解】解：椭圆，可得，，则，
所以椭圆的焦点坐标.
故选：C.
2．B
【分析】先根据焦点在x轴上的椭圆求出，再根据充分性，必要性的概念得答案.
【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆得，
解得或
由充分性，必要性的概念知
“或”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
3．B
【分析】由题意的周长，可得，结合，即得解.
【详解】由题意的周长，
解得，
故，，
则椭圆的焦距为.
故选：B
4．B
【分析】在中，由余弦定理可得的长度，进而根据边的关系得为直角三角形，根据焦点三角形即可得关系.
【详解】设则，所以
由于，所以为锐角，故，
在中，由余弦定理得，
因此,故为直角三角形，
所以，
由的周长为，
所以故，
故选：B
5．D
【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得.
【详解】解：；①
又，②
①-②得：，
的面积为，
.
故选：D
6．D
【分析】写出点坐标，由已知条件得出的齐次等式，变形后可求得离心率．
【详解】由题意，由得，平方得，
所以．
故选：D．
7．B
【分析】由于椭圆的定义，结合已知条件中，解的和的值，再利用，得到a,b的关系，代入离心率公式即可求得所要答案.
【详解】因为：，，解的；
所以：，则,则，
所以离心率为：
故选：B
8．D
【分析】先设出点的坐标，再由题目条件得到，利用两点间的距离公式列出式子，借助化简式子，得到关于离心率的式子，结合离心率的范围解出不等式即可.
【详解】设点，
因为线段的中垂线过点，所以，即，
化简得，
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，解得.
故选：D.
9．BC
【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.
【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.
将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.
故选：BC.
10．BC
【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程求解即可.
【详解】可化为.
当时，，椭圆的离心率为，解得；
当时，，椭圆的离心率为，解得.
故选：BC.
11．BCD
【分析】对于A，结合椭圆的定义和性质，即可求解，对于B，结合椭圆的定义和条件可求得，即可求得面积，对于C，利用向量的坐标运算可化简，根据其结果即可判断；对于D，结合直线的斜率公式，以及点在椭圆上进行化简，即可判断．
【详解】对于A，∵椭圆C ,
∴ ， ,,
∴的周长为,故A错误，
对于B，∵，
，
∵，故，
∴ ，
∴的面积为 ，故B正确；
对于C,由题意知 ,设，
则
为定值，故C正确；
对于D，设 （ ），
则 ，∴ ，
∵在椭圆上，则 ，即，
∴。联立可得 ，故D正确
故选： ．
12．ABD
【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆的性质逐一判断即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，点A在第一象限，
根据椭圆的对称性可知：，
所以，因此选项A正确；
△ABF的周长为，
把代入椭圆方程中，得，
所以，因为，
所以，因此△ABF的周长的取值范围是，所以选项B正确；
当时，，得，即，，
显然不是直角，
因为，所以不是直角，
因此△ABF不是直角三角形，所以选项C不正确；
当时，，得，而椭圆的上顶点到直线的距离也是，
所以椭圆上到直线l的距离等于的点有三个，因此选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用椭圆的定义和对称性是解题的关键.
13．20
【分析】根据题意得到，结合离心率求出.
【详解】由题意得：，则，
故，解得：.
故答案为：20.
14．0（答案不唯一）
【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，则有，解出其范围即可.
【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点,
,即.
设，,
由,可得,
又因为在椭圆上,即,
所以,要使得成立的点恰好是4个,则,解得,
所以的值可以是任意一个值，
故答案为：0(答案不唯一)
15．
【分析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因为，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.
故答案为：
16．②③
【分析】直线的方程为，根据椭圆方程直接求出离心率即可判断①；由，可得，从而可得点的轨迹，再结合的范围即可判断②；根据椭圆的定义即可判断③；由点在椭圆上，得，两式相减整理即可判断④.
【详解】解：因为椭圆的方程为，所以，椭圆的焦点在轴上，
所以，不妨取，
设直线的方程为，
对于①：由上知椭圆的离心率为，故①不正确；
对于②：若，
则，
则，
所以点到原点的距离为4，
因为椭圆上的点到原点的距离的取值范围为，所以存在点使得，故②正确；
对于③：，故③正确；
对于④：因为点在椭圆上，
所以，
两式相减得，，
所以，所以，
所以，所以，所以，故④不正确.
故答案为：②③.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设得、，应用椭圆离心率公式求离心率即可.
（2）由题设得、，应用椭圆离心率公式求离心率即可.
（1）
由题设，，则，又，
所以椭圆的离心率.
（2）
由题设知：，又，
所以椭圆的离心率.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中的关系即可求解；
（2）利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，解得，
故椭圆标准方程为.
（2）由，消去，得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）在曲线上任取一个动点，即可得到在圆上，代入圆的方程，整理可得；
（2）设，根据两点间的距离公式表示出，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：在曲线上任取一个动点，则在圆上，
所以，即，所以曲线的方程为.
（2）解：设，则
，
所以当时，所以，即的最大值为.
20．(1)
(2)
【分析】(1)由等式几何意义判断出点的轨迹为椭圆,设出方程求出关键信息,写出方程即可;
(2)联立椭圆和直线方程,求出两点坐标,用两点间的距离公式即可求出弦长.
【详解】（1）解:由题知由椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,
不妨设椭圆方程为,
由,
可知,则,
由,可得,则,
故轨迹的方程为;
（2）由(1)知椭圆方程为
联立,消去得,
则或,
不妨设,,
则.
21．(1)；
(2)①或；②.
【分析】（1）根据已知条件，求得，则椭圆方程得解；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到的坐标关系；
①根据，则，即可带值计算，求得直线方程；
②利用弦长公式和点到直线的距离公式，将三角形的面积转化为含变量的函数，求其最大值即可.
【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，根据题意，显然有：，，又，
解得：，故椭圆的标准方程为：.
（2）设直线的方程为：，联立椭圆方程：，
可得：，
因直线与椭圆交于两点，故，解得：；
设坐标分别为，则；
①若，则，即，
，即，
故，解得，，
此时，直线方程为：或；
②，
又点到直线的距离
设的面积为，则，
令，故，
当时，的面积取得最大值.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中直线方程的求解和三角形面积的最值；处理问题的关键是转化为，以及正确的利用弦长公式，属综合中档题.
22．(1)；
(2)是，
(3)最大值为，
【分析】（1）根据和过点可求结果；
（2）设，所以，，从而得到．
（3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．
【详解】（1），，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
（2）依题意得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
（3）设直线的方程为，，
由消去，整理得，
，则，
则，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
